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Totale und partielle Differentialgleichungen.

ß = qp (z — Ax)-,

hieraus ergeben sich unmittelbar « und co. Die Gleichung

d Ä _i_dx '

Idq , n7 T - 03 = U,

dz 1 ’

in der | und co Funktionen von x und z sind, geht vermöge

dz = udx + ßdzin

u -j- + co = 0

über, und das Problem reduziert sich auf die Aufgabe,

ßdz — ißdx — codx

zu einem vollständigen Differential zu machen. D’Alembert unter-scheidet einzelne Fälle, in welchen ihm di-e Integration gelingt, wennnämlich ßdz oder tßdx oder endlich dz — %dx vollständige Diffe-rentiale sind. Kurz darauf untersucht er die Gleichung

dqd x

+

i = odz ' ^ d

die sich mittels q = £“ auf den vorigen Fall reduziert, sowie dieGleichung, die sich durch Addition einer weiteren Funktion ergibt.

\Y ie ungeordnet, unzusammenhängend und unübersichtlich dieKenntnisse auf dem Gebiet der Gleichung 1. Ordnung waren, zeigtder diesbezügliche Abschnitt in Eulers Integralrechnung. Trotzdemist daselbst wenigstens ein Versuch gemacht, die verschiedenen ge-sammelten Resultate in eine gewisse Ordnung zu bringen und stufen-weise vom Einfachen zum Schwierigeren vorzudringen. Der einfachsteFall ist der, daß die Gleichung nur eine der beiden partiellen Ab-leitungen enthält. Die Gleichung

integriert Euler dadurch, daß er das gleichwertige

dz = adx + qdy

nach den für totale Gleichungen mit 3 Variablen geltenden Methodenbehandelt. Er nimmt also zunächst y konstant an, woraus dy — 0folgt, und erhält aus dz = adx die Gleichung

z = ax + const.

Indem er jetzt die Integrationskonstante als Funktion von y auffaßt,hat er das gesuchte Integral bereits gewonnen; durch Differentiationerhält er nämlich rückwärts