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Abschnitt XXVII.

dz = adx + dy ■ f'(y )

und daraus wie verlangt, Euler weist auch auf die Tatsache

hin, daß die Integrabilitätsbedingung für

dz = adx + qdy

nur dann erfüllt ist, wenn q eine Funktion von y allein ist. Nach-dem er weiterhin die Gleichung

©

X,

wo X eine Funktion von x und y bzw. von x und z oder gar vonallen 3 Variablen x, y, z l ) ist, genau auf dieselbe Weise in der Form

z =j Xdx + f(y)

integriert hat, wendet er sich zu Gleichungen, die beide Abgeleitete

(d$ = P Und ©

9 ,

aber keine der 3 Variablen x, y, z enthalten, d i. zu den Gleichungender abwickelbaren Flächen, p = q z. B. führt auf

dz = p (f Ix + dy)

und bei Anwendung der Substitution x + y = u auf

dz = pdu,

woraus folgt, daß p eine Funktion von u allein sein muß; darausergibt sich endlich

z = f(x + y).

Die Gleichung

‘tö+P(%)-r

behandelt Euler der vorigen analog durch Einführung von

ßx — ccy = u.

Partielle Integration zieht er in dem Beispiel pq = 1 heran 2 !;

dz = pdx + qdy

gibt nämlich

.r = px + qy —J (xdp + ydq)

(vgl. S. 1013) und damit

*) Institutiones calculi integralis, vol. III, bzw. p. 41, 55, 58. ! ) Ebenda,

p. 74.