Totale uncl partielle Differentialgleichungen.

961

dz = px +

Hier muß notwendig

d. h. eine Funktion von p allein sein; das Integral — „solutio gene-ralis“, wie Euler hier, oder „completa“, wie er bald darauf sagt —besteht dann aus den zwei Gleichungen

X = + und * = y +i J f'(P)

zwischen denen man sich p eliminiert denken muß. Von den hierhergehörigen Gleichungen sei noch

pp + qq = 1

erwähnt, sowie der Fall, daß q eine beliebige Funktion von p ist.Enthält die gegebene Differentialgleichung außer p und q noch dieVariablen x, y und z, so unterscheidet Euler wieder verschiedeneTypen. Für die Behandlung der Gleichung P = Q, wo P eineFunktion von p und x, Q eine solche von q und y ist, gibt er fol-gende Regel 1 ): Man setze P = v und demzufolge auch Q = v, berechnep als Funktion von x und v, q als Funktion von y und v, bildeferner bei konstantem v die Integrale

und / qdy = 8.

Diese Integrale liefern aber' rückwärts, wenn man jetzt auch v alsvariabel ansieht, die Gleichungen

dB = pdx + Vdv und dS — qdy + TJdv\

damit aber dann

dz = dB + dS — dv(V + U)

integrabel werde, muß

V+ U =/»,

welch letztere Gleichung mit

z — B + S — f(v)

zusammen das gewünschte Integral darstellt. Das Verfahren beruhtim Prinzip auf der Variation der Konstanten. Den ganz allgemeinen Fall

‘) Institutiones calculi integralis, vol. III, p. 130.