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Abschnitt XXVII.

einer beliebigen Gleichung zwischen p, q, x, y und z erwähnt Eulerzwar 1 ), weiß ihn aber natürlich nur in speziellen Fällen zu behandeln.Um sich einen Begriff zu machen, wie er sich in solchen Einzel-fällen zu helfen weiß, sei seine Integration 2 ) von

Z = p P + q Q

kurz skizziert, wo Z eine Funktion von z allein ist, P und Q Funk-tionen von x und y bedeuten. Ein Multiplikatorensystem L, 31, Nliefert hier

Ldz = Lpdx + Lqdy, 3IZdx = 3IpPdx + MqQdx-,

NZdy = Np Pdy + NqQdy,

durch Addition folgt

Ldz + Z (31 dx + Ndy) - p ((L + MP) dx + NPdy)

+ r l ((A + N Q) dy + 31Q dx).

Euler verlangt jetzt das Bestehen der Proportion

L+ MP: NP - MQ : L + NQ,

d. h.

L = - MP - NQ,

und erhält so die Gleichung

- dz (MP + NQ) + Z(31 dx + Ndy) = (31 q - Np)(Qdx - Pdy).

Ein neuer Multiplikator II, der Qdx — Pdy integrabel macht, habedie Gleichung

R(Qdx — Pdy) = d U

zur Folge; ferner sei ■ ebenfalls integrabel = dV, was

durch geeignete Wahl von 31 und N immer erreicht werden kann.Durch Einführung der Größen U und V in die umgeformte Diffe-rentialgleichung ergibt sich endlich

(31P + NQ) (- dz + ZdV)= Mq ~ Np ■ d U,

woraus ersichtlich wird, daß jix^ipyNQ) elne Funktion von U alleinsein muß. Diese Einsicht führt unmittelbar zu dem gesuchten Integral

J d z -=V + f(l7).

Aus den angeführten Beispielen geht hervor, wie Euler nach Bedarf

‘) Institutionen calculi integralis, vol. III, p. 142.

■) Ebenda, p. 168.