Totale und partielle Differentialgleichungen.

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die verschiedensten Hilfsmittel als Substitutionen, teilweise Integrationen,Multiplikatoren zur Lösung lieranzieht und durch die uneinheitlicheBehandlungsweise, die ihm selbstverständlich in keiner Weise zumVorwurf gemacht werden kann, nicht einmal den Gedanken an dieMöglichkeit einer allgemeinen Integrationstheorie aufkommen läßt:das unausgesprochene Grundprinzip, das — abgesehen von den erstenBeispielen, die nach der für totale Gleichungen dreier Variablenüblichen Methode gelöst sind — bei allen seinen Aufgaben zur An-wendung kommt, besteht darin, daß er die partielle Gleichung zu-nächst in eine totale verwandelt, in dieser durch geschickte, dem ge-gebenen Fall angepaßte Umformung einen größstmöglichen inte-grablen additiven Teil absondert, und endlich aus dem Umstand, daßja auch der übrige Teil der Gleichung ein exaktes Differential seinmuß, Nutzen zu ziehen sucht.

Euler behandelt auch die Gleichung 1. Ordnung mit 4 Variablen.Sei v die abhängige, x, y, z seien die unabhängigen Veränderlichen,

dv = pdx -j- qdy -j- rdz.Dann geht z. B. die Gleichung

ap + ßq + yr = u 1 )

über in

ydv = p{ydx — adz) -f- q(ydy — ßdz),und daraus wird mittels der Substitutionen

yx — uz = t und yy — ßz = uydv = pdt -|- qdu.

die Gleichung

Euler folgert

= r(t & u) = r(yx — uz & yy — ßz)

v

■oder auch

Im folgenden behandelt er u. a. die Gleichungenpx + qy + rz = nv + S,wo eine Funktion von x, y, z ist, und

j) Ij -)- q AiT T r A' = 0,

wo L , M, N Funktionen von x bzw. y bzw. z allein sind. Von Glei-chungen höheren Grades seien

') Institutionea calculi integralis, vol. III, p. 423.

Cant( r, Geschichte der Mathematik IV.

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