Totale und partielle Differentialgleichungen.

965

Führt man die dritte dieser Gleichungen in die zweite ein, so erhältman durch Vergleichung mit der ersten

n o

GMi;)'+e:)-a - ■©■

Demnach geht die vorgelegte Differentialgleichung über in

“-&)' + <rK3 + “£)© + ’•■

Da u noch unbestimmt ist so kann man trennen in

Die letzte Gleichung reduziert sich, wenn aus der vorletzten y alsFunktion von x und u bekannt ist, auf eine totale Gleichung (weilman u während der Integration als konstant ansehen kann). Dievorletzte Gleichung führt, wie Laplace sich ausdrückt, durch Kom-bination mit cu = ^~jcx (y au f die Integration von

f y — nix = 0 .

Um das Argument der willkürlichen Funktion der Integralgleichungzu erhalten, braucht man, wie Laplace angibt, nur das Integral derletzten Gleichung nach der Integrationskonstanten aufzulösen. La-place hat also im Grunde genau dieselben totalen Gleichungen wieLagrange, denn die zwei Gleichungen

U = + V und ?y — a< x = 0

sind, abgesehen von dem für die Integration unschädlichen Parameter n,nichts als die bekannten Lagrangeschen Gleichungen

d-<: _ cy _ cz1 a V

in etwas anderer Form — und das ist nicht verwunderlich, da inletzter Linie alle Integrationsmethoden auf dieses charakteristischeSystem zurückkommen werden; aber die klare, elegante, die Bedeutungjenes Vereins von Gleichungen viel schärfer betonende Darstellungvon Lagrange zeigt deutlich, daß sich Lagrange seines Fort-schritts, der die endgiltige Erledigung der in Frage stehenden Glei-chung bedeutet, vollkommen bewußt war; auch ist bei Lagrangevon der Beschränkung des « Ahstand genommen. Was das Entstehender Laplaceschen Methode anlangt, so weist sie deutlich auf dieEulersche Behandlung partieller Differentialgleichungen durch Ein-

62 *