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Abschnitt XXVII.
fiihrung neuer Variabler hiu (vgl. S. 994); für die Gleichung 2. Ord-nung, die Laplace in dem nämlichen Aufsatz behandelt, gibt erselbst Eulers Integralrechnung als Quelle an.
Von den Lagrangesclien Abhandlungen ist zuerst ein größererAufsatz in den Memoiren der Berliner Akademie von 1772 zu nennen 1 !,welcher der partiellen Gleichung 1. Ordnung beliebigen Grades ge-widmet ist. Sei u eine Funktion von x und y allein, P = ~f~. undy — w0 ^ ei partielle Differentiation nicht besonders angedeutet
wird. Die Integration einer Gleichung beliebigen Grades zwischenu, x, y, p und q bedeutet daun nichts anderes als die Aufsuchungeiner Gleichung zwischen u, x und y allein. Die gegebene Diffe-rentialgleichung gestattet nun, wie Lagrange sagt, etwa q durchw, x, y, p auszudrücken; „die Größe p ist hierbei noch unbestimmt, unddie ganze Frage reduziert sich darauf, p derart zu bestimmen, daß dieGleichung du = pdx + qdy oder vielmehr du —pdx — qdy = 0 in-tegrabel wird.“ Lagrange verlangt also, daß M[du—pdx — qdy)das totale Differential einer Funktion TV von u, x und y wird. Dasergibt sofort die drei Gleichungen
dX
du
= J/;
dX
dx
Mp-
dX
dy
= - Mq,
welche sich durch folgende drei ersetzen lassen
d M _ _ d(Mp) _ d .1/_ d (Mg) _ _ d (Mp) _ _ d(Mq)
Die letzte Gleichung läßt sich aber auch in der Form
dq
d
I ) +>-
dM
du
dM« dx
== 0
schreiben, woraus durch Einführung der beiden ersteren Gleichungen
kommt.
dq\
dx)
d (Mq)
P ix du
+ Q
d(M P ) 0d u
Daraus folgt endlich
+ o '^=0
dy dx * du du
Diese Gleichung, von der Lagrange noch eine zweite Herleitunggibt, ist nichts anderes als die lntegrabilitätsbedingung für die totaleGleichung
du —pdx — qdy = 0
') Oeuvres de Lagrange, t. III, p. 519. Die Lagrangesehen Arbeitensind übersetzt in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften.