Totale uinl partielle Difl'erentialgleiclningeu.

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mit den drei Variablen «, x und y und ist als solche längst bekannt,wie Lagrange selbst mit den Worten „connue depuis longtemps“zugibt; vollkommen neu ist indessen die Anwendung, die Lagrangevon ihr macht. Er denkt sich nämlich mit Hilfe der gegebenenDifferentialgleichung q (oder p) durch x, y, u und p ausgedrückt undin die genannte Integrabilitätsbedingung eingesetzt: diese definiertdann p als Funktion von u, x und y. Scheinbar ist damit wenigerreicht, denn die neue Gleichung hat vier Variable u, x, y und p-bedenkt man aber, daß die Gleichung linear ist, daß ferner eine parti-kuläre Lösung, wenn sie nur eine willkürliche Konstante enthält, die„solution generale et complete“ der ursprünglichen Differentialgleichungliefert, so läßt sieh schon ersehen, welche Bedeutung sie unter Um-ständen erlangen kann. Um letztere Behauptung zu erweisen, ver-wendet Lagran ge einen auf der Variation der Konstanten beruhendenGedankengang. Sei a die Integrationskonstante, welche, wie verlangt,in die partikuläre Lösung für j) eingeht. Es ist dann

cst. = / 31 (du — pdx — qdy) = Vdas Integral der Gleichung

du —pdx — qdy = 0;

X ist eine Funktion von u , x, y und u. Läßt man jetzt u variieren,so ist

V = j 31 (du — pdx — qdy ) + j ^ du-,

da aber der Ausdruck unter dem ersten Integralzeichen ein vollstän-

(l a\ t

diges Differential ist, so muß auch, wie Lagrange folgert, ■ daein solches sein, d. h. es muß ^ eine Funktion /’(«) von u alleinsein. Somit erhält Lagrange die beiden GleichungenV - f(a) = cst, und ^ = f'(a)

mit der willkürlichen Funktion f, zwischen denen man sich a eliminiertdenken muß; IV bedeutet hierbei den durch Integration von

31 (du — pdx — qdy )

bei konstantem a erhaltenen Ausdruck in u, x, y und u. Hier seibemerkt, daß Lagranges Gedankengang nicht völlig unvorbereitet

war. Wie schon gezeigt, führt Euler die Lösung von (j Z ) = a undeinigen ähnlichen Problemen auf die Integration einer totalen Diffe-