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Abschnitt XXVII.

rentialgleichung mit drei Variablen zurück, und es ist wohl nur die Ein-fachheit dieser Beispiele daran schuld, daß er die Integrabilitäts-bedingung dieser Gleichung nicht stärker betont und mit zur Integrationheranzieht (vgl. S. 960 oben,:; in seinem Aufsatz von 1762 formulierter das Problem der Integration der partiellen Differentialgleichung1. Ordnung als die Aufgabe, Pdx + Qdy zu einem totalen Differentialzu machen, wenn zwischen P und Q eine Xebenbedingung besteht(Vgl. S. 957), während Lagrange dasselbe von du—pdx — qdyfordert; der Gedanke, die Integrationskonstante einer gegebenen Glei-chung variieren zu lassen, findet sich endlich auch schon bei EulerIvgl. S. 959 unten). Von den Beispielen, an denen Lagrange seineMethode erörtert, sei nur eines mitgeteilt: Für q = P, wo P eineFunktion von p allein, erhält man als Integrabilitätsbedingung

<l}> _ F d P _ F dpd y dx 1 d u

+ p

dp

d u

= 0 .

Man findet leicht p — u, d. h. q = A und demnachdu — udx — A dy = 0.

Daraus ergibt sich

-V = u — ax — Ay;

dNd a

= — x — A'y = /■'(«);

daraus ist a zu berechnen und in

u — ux — Ay — f(a) — <)

einzusetzen. In dieser Weise zählt Lagrange noch eine ganze Reihe, imganzen neun, Fälle auf, in welchen man mit der erwähnten linearen Hilfs-gleichung zum Ziele kommt; darunter befindet sich z. B. der Fall,daß die gegebene Differentialgleichung eine der beiden Variablen xoder y nicht enthält. Die erwähnte partielle Gleichung mit vierVariablen benutzt er hierbei lediglich als Hilfsgleichung, die unterUmständen, also etwa in den erwähnten neun Fällen, mit Erfolcr be-nutzt werden kann; daß durch sie allgemein die Integration derGleichung beliebigen Grades auf den linearen Typus zurückzuführenist, vermag er nicht einzusehen 1 ), und daran ist wohl die große All-gemeinheit dieser Idee schuld. Dafür weiß er aber seine Methode,aus einer Partikulärlösung („integrale particuliere“) das „integralecomplete“ herzustellen, ihrer vollen Bedeutung nach zu würdigen, in-dem er sie als ein besonderes „Prinzip“ hinstellt. 2 ) Endlich zeigt er,

In seiner Abhandlung von 1785 (vgl. unten) gesteht er selbst zu, dieallgemeine Gleichung höheren Grades nicht lösen zu können. *) Oeuvres deLagrange, t. III, p. 571.