Totale und partielle Differentialgleichungen.
96t»
«laß statt eiaes partikulären Wertes von p oder q ein solcher von umit zwei willkürlichen Konstanten und allgemein für den Fall, daßu eine Funktion der n Variabein x, y, z, . . . ist, ein partikulärerWert von u mit n Konstanten genau dieselben Dienste leistet, 1 )Diese Bemerkung ist sehr wichtig; Lagrange zeigt damit den Zu-sammenhang zwischen vollständigem und allgemeinem In-tegral einer partiellen Gleichung; dabei ist beachtenswert, daß er indieser Abhandlung den Wert von u mit n Konstanten noch nichtals vollständiges Integral, sondern nur als partikuläre Lösung ansieht.
In seiner großen Abhandlung über die singulären Integrale vomJahre 1774 geht Lagrange, nachdem er den Zusammenhang vonvollständigem, singulärem und allgemeinem Integral ausführlich dar-getan, wieder auf die Integration der partiellen Differentialgleichung1. Ordnung und beliebigen Grades ein und zwar gibt er Integrations-methoden für verschiedene ausgezeichnete Gleichungstypen. Ist z. M.eine Gleichung der Form
f(d Z x > = •")
schon behandelt hat (vgl. S. 961), gleich einer Konstanten n.
berechnet aus dieser Gleichung f !" als Funktion von x und a und
“ fl er.
dx
integriert endlich bei konstantem a. So ergibt sich
* = X + %
wo ,Y eine Funktion von x und a, eine solche von y und a ist;ganz analog führt
auf eine Gleichung
wo Y eine Funktion von y und «, £ eine von x und a bedeutet.Da aber bis auf eine additive Konstante W = Y und £ = X seinmuß, so ergibt sich
z = X + 1 +7'.
Letztere Gleichung ist, weil sie die zwei Konstanten a und b enthält,als das vollständige Integral der gegebenen Gleichung anzusehen. DieGleichung
') Oeuvres de Lagrange, t. III, p. 572. *) Schon 1772, ebenda, p. 561.
s ) Ebenda, t. IV, p. 80.