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Abschnitt XXVII.

führt mit Hilfe der Substitutionen Z = -!■ Z und = aZ auf

d x d y

x + ay= f d * 4 - b,

wobei Z aus »

f(Z, aZ, z) = 0

als Funktion von z und a berechnet werden muß. Von größter

Wichtigkeit ist das folgende Beispiel 1 ), nämlich die auch von Laplacebehandelte Gleichung

dz _ „dz_dx dy ’

wo V eine Funktion von x und y, Z eine solche von x, y und z ist.

Lagrange multipliziertdurch

dz = (Ydx + + %dx

und setzt, gewissermaßen versuchsweise,

Vdx + dy = 0.

Integriert man diese Gleichung, wobei die Integrationskonstante ccauftritt, und differentiiert wieder, indem man jetzt a als variabel an-sieht, so ergibt sich eine Gleichung

Ydx + dy = Ada,

wo A eine bekannte Funktion von x, y und a ist. IVlit Benutzungdieses Wertes ergibt sich aber

dz = A d z da + Zdx.

dy

Lagrange verlangt nun, daß man y durch x und a darstelle undden betreffenden Ausdruck in die letzterwähnte Gleichung einsetze;diese reduziert sich dann bei konstantem a auf die totale Gleichung

dz = Zdx.

Die Integrationskonstante dieser Gleichung, fährt Lagrange fort,

') Ebenfalls schon 1772 behandelt, doch sind die der partiellen Gleichung-entsprechenden totalen noch nicht erkennbar. Vgl. Oeuvres de Lagrange,t. III, p. 562.