Totale und partielle Differentialgleichungen.

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fasse man als willkürliche Funktion von a auf, und hat somit, dabereits u als Funktion von x und y durch das Integral von

Ydx + dy = ü

bestimmt ist, ohne weiteres das allgemeine Integral der gegebenenDifferentialgleichung. Hier sind also die beiden totalen Gleichungen

Vdx dy = 0 und z = Zdx

wirklich angeschrieben, wenn auch noch nicht in ihrer vollen Bedeu-tung erkannt. Lagrange sagt aber nicht, die Gleichung

dz = (Vdx -f- + Zdx

ist jedenfalls erfüllt, wenn gleichzeitig

Vdx+dy = 0 und z = Zdx-,

sein Gedankengang beruht vielmehr eher auf der Idee der Variationder Konstanten, deren Anwendung hier, in einer Abhandlung übersinguläre Integrale, wo fortwährend Differentiationen nach Integra-tionskonstanten auftreten, besonders nahe lag, oder, wenn man will,auf der Einführung einer neuen Variablen a, die durch die Gleichung

Vdx + dy = 0

definiert wird. In ganz ähnlicher Weise behandelt Lagrange sodanndie Gleichungen

x = Vy + Z,

T t • i j.• dz , dz r, -i •» dz dz

wo \ eine Funktion von ~r~ und , , Z eine solche von 7 , , -

d x dy 7 dx J dy

, dz dz . , ,

und z — x , — \f -r- ist, undd x dy 7

dz

dy

= Vy + Z,

wo V eine Funktion von x und ^, Z eine solche von x, 4-* un d

dy 7 7 dy

z— u ( ,“ ist. Es ist noch darauf hinzuweisen, daß Lagrange der•' d y ’ ° °

Gleichung

ll ~=V^ + Zdy

d x

unter den angeführten Beispielen keine ausgezeichnete Rolle zuerkennt,sondern sie einfach als einen integrablen Fall unter anderen inte-grablen Fällen ansieht. Zur Beschäftigung mit diesen Beispielengaben wahrscheinlich folgende Umstände die Veranlassung: Lagrange