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Abschnitt XXVII.
suchte das singuläre Integral einer partiellen Differentialgleichungaus der Integralgleichung abzuleiten, fand, daß dies leichter ist, wennnicht das allgemeine, sondern das bereits früher von ihm entdeckte,mittlerweile auch in seiner Bedeutung erkannte vollständige Integralgegeben ist, und suchte demgemäß das vollständige Integral für verschiedene Gleichungstypen zu bilden; dem ist nicht entgegen, daß erin dem speziellen Beispiel
dz dz ,
— = r /
d x <ty
gerade auf das allgemeine Integral geführt wird.
Mittlerweile fällt Lagrange auf, daß er in der eben besprochenenAbhandlung die partielle Differentialgleichung 1. Ordnung, in der dieDifferentialquotienten nur linear auftreten, integriert hat; er erkenntdas Prinzipielle der Methode und gibt 1779 eine Verallgemeinerungderselben. Wie Laplace formuliert er 1 ) vorher die Aufgabe: „Manweiß, daß die Kunst der Integration bei partiellen Differentialglei-chungen nur in der Zurückführung dieser Integration auf die vongewöhnlichen Differentialgleichungen besteht, und daß man einepartielle Differentialgleichung dann als integriert betrachtet, wennihre Integration nur mehr von derjenigen einer oder mehrerer totalenDifferentialgleichungen abhängt.“ Lagrange gibt sodann ohne weitereBegründung folgende Regel: Ist
3 3 3 O
dz „dzdx' dy
+ «d’t +
= Z,
wo P, Q, ... Z beliebige gegebene Funktionen von x, y, t, . . . zsind und z selbst eine unbekannte Funktion von x, y, t, . . . ist, sobilde man die „equations particulieres“
dy — Pdx = 0; di — Qdx — 0; . . .; dz — Zdx = 0,
integriere und löse nach den Integrationskonstanten «, ß, y, . . . auf.Das gesuchte Integral der ursprünglichen Gleichung ist dann
“ = <f (ß, 7, ■ ■ ■),
wo (p eine willkürliche und unbestimmte Funktion ist; das Integralwird „complete“ 2 ) sein, weil es eine willkürliche Funktion enthält.
') Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 625. Im Anschluß an diesen Aufsatzsteht eine Bemerkung von Charles für den Fall, daß die gegebene Differential-gleichung in den drei Variablen x, y, z homogen ist: Histoire de l’Academie desSciences 1784 (1787;, p. 348. *) So schreibt Lagrange, obwohl er früher
zwischen allgemeinem und vollständigem Integral unterschieden hat.