Totale und partielle Differentialgleichungen.

D7:5

Einen Beweis gibt Lagrange nicht an, sondern verweist einfachauf seine Integration der Gleichung

dz =y dzdx d 1 /

+ Z.

Erst im Jahre 1785 kommt Lagrange wieder auf die lineareGleichung zurück, um einen Beweis für seine Methode zu gehen. 1 )Für den Fall von drei Variablen u, x, y sei wie herkömmlich

du . d u

, = p und , = <j

d x 1 d i/

gesetzt; die gegebene Differentialgleichung sei

Xp + Yq = U,

wo X, Y, U beliebige Funktionen von u, x und y sind,von selbst

du = pdx + qdy.

Durch Multiplikation beider Gleichungen folgt

(Xp + Yq) du = U(pdx + qdy )

oder

p(Xdu — Udx) + q(Ydu — Udy) = U.Lagrange nimmt nun an, die beiden Gleichungen

Xdu — Udx = 0 und Ydu — Udy = 0

Es ist daun

seien in der Form integriert

« = A, ß = B,

wo A und B bekannte Funktionen von u, x und y, ferner «, ß dieIntegrationskonstanten sind. Lagrange führt jetzt statt x und ydie eben bestimmten Ausdrücke A und B als neue Variable a und ßin die ursprüngliche Differentialgleichung ein. Er erhält zunächst

und ganz analog

Ö O

, dA, d A , dA ,

du = , du 4- -r~ dx + d 1 /du dx dy '

dß =

dB

du

du

dB

dB

, dx + -y dy.dx dy J

Für die hierin auftretenden Derivierten von A und B lassen sichaber zwei bemerkenswerte Relationen aufstellen. Betrachtet mannämlich die Funktionen A und B als Integrale von

‘) Oeuvres de Lagrange, t V, p. 543ff.