Totale und partielle Differentialgleichungen.

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<lann ist von selbst

A dp + B d q = 0,und es ergibt sich, indem man

dp = rdx -f sdy. d</ = sdx + tdy

setzt, durch Elimination von ^ die Gleichung 2. OrdnungADr + (BI) — AG)s— BCt = 0.

Monge verlangt von dieser Gleichung, daß sie nicht alle Konstanten•der Gleichung W = ü enthalte, und behandelt sie nach seiner Methodefür die partielle Gleichung 2. Ordnung, auf die wir noch zu sprechenkommen (vgl. S. 1009); er erhält so das Simultansystem

A Ddy 2 - (BI) - AC ) dxdy - BCdx i = 0

und

ABtlpdy — BOdqdx = 0.

Die erste Gleichung hat die beiden Wurzeln

Cdx + l)dy = D und Ady — Bdx = 0,

deren erste nichts Neues gibt, deren zweite aber auf das Simultan-system

Ady — Bdx = 0; Cdq — Ddp = <>

führt; das sind aber, wenn man die Verschiedenheit der Schreibweisebedenkt, zwei der Charpitschen Gleichungen. Lassen sich davon zweiIntegrale V=a und U = <p(a) angeben, so erhält man das „integralecomplete“ der ursprünglichen Gleichung, indem man aus ihr und denGleichungen F=« und U = <p (u i die Größen p und q eliminiert.Verschwindet der Parameter ct dabei nicht von selbst, so ist das End-ergebnis dieser Elimination noch partiell nach u zu differentiieren;das Integral besteht dann aus zwei Gleichungen, zwischen denen mausich « eliminiert denken muß. So führt die Gleichung

auf

aus

(ap — q)- + ax(u-p -f q) + a 2 z = 0ady — dx = 0; adp + d/f = 0;ay — x = a und ap + q = <f (cc) = <p ( «// — x)ergibt sich dann sofort das „integrale complete“ in der Form[q (ay — x)f + x ■ q . (ay — x) + z = 0.

Wichtiger ist der Fall 1 ), daß die gegebene Gleichung sich in irgend

l ) Histoire de l’Academie des Sciences 1784 (1787), p. 17*2.

Cantor, Geschichte der Mathematik IV. 63