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Abschnitt XXVII.

einer Weise aus den drei Größen p, q und M = z—px — qy zusammen-setzt; dann werden nämlich die Größen C und I) beide notwendig0, das Differential der ursprünglichen Gleichung wird von der Form

Mdp + Ndq = 0,

woraus Monge p — q>(q) folgert, und das ist, wie er ausdrücklich be-merkt, die Gleichung der abwickelbaren Flächen. Setzt man dieseGleichung in die ursprüngliche ein, faßt q als Parameter auf und diffe-rentiiert nach q partiell, so hat man zwei Gleichungen, die das ge-suchte Integral repräsentieren. Bei dieser Gleichung, die als allge-meine Clairautsche Gleichung aufgefaßt werden kann, ließe sich dasvollständige Integral noch leichter aufstellen.

M onge bemerkt sodann 1 ), daß die Annahme

('■dx -f- Ddy = 0

vollkommen willkürlich war, und daß jede andere derartige Annahme,die auf eine bekannte Differentialgleichung 2. Ordnung mit einerKonstanten weniger führt, ebenso berechtigt sei; diese Überlegunghabe ihn zu den folgenden merkwürdigen Resultaten geführt: Ist

F(L, M, X) = o

eine Differentialgleichung, wo L, M, N gegebene Funktionen vonx, y, z, p, q sind mit der ganz speziellen Eigenschaft, daß aus zweiender Gleichungen

dL = 0, dM = 0, dN= 0

von selbst mit Notwendigkeit die dritte folgt, so wird das Resultatder Elimination von p, q und einer der willkürlichen Funktionen ausden vier Gleichungen

L = k-, M — tpa ; X = ipu-, F («, <pcc, ipa) = 0

zusammen mit der partiellen Derivierten der Eliminationsgleichungnach a das „integrale complete“ der gegebenen Differentialgleichungbilden. Nach dieser Methode der Integration durch Berührungstrans-formationen 2 i, wie wir heutzutage sagen, behandelt, führt das Beispiel

«(x + T) + h {y + "i) + c ( z -!!) = 1 >

wo

k~ = l + p~ + q*,

auf die drei Gleichungen

') Histoire de l’Academie des Sciences 1784 (1787), p. 174. *) Auf

dieses Vorkommen der Berührungstransformationen hat zuerst E. v. Weber,Math. Enzyklopädie, Bd. II, S. 3ö9, Anm. 224 aufmerksam gemacht.