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Totale und partielle Differentialgleichungen.

(x — «f -f \y — ff «) 2 + — ff’« i s = Ir]

au + bqm + eff'« = 1;

# — « + (</ — qr «) ff '« + (2 — ff’« I fff« = U;da, wie verlangt, von den drei Gleichungen

d [ x + t) = 0: 4^ V) = (,: '' (* - t-) = 0

eine die Folge der beiden anderen ist. Monge gibt wie gewöhn-lich auch die geometrische Deutung der Integralgleichungen; die erstestellt eine Kugelfläche mit unbestimmtem Mittelpunkt dar, die zweiteverlangt, daß dieser Mittelpunkt auf der Ebene

rix -f- by + cz = 1

liegt, die dritte fordert, daß die Koordinaten x, y, z sich nicht ändern,wenn a variiert; alle Gleichungen zusammen bedeuten demnachdie Enveloppe einer Schar von Kugeln mit dem Radius h, derenMittelpunkte auf einer beliebigen Kurve liegen, die mau in einer ge-gebenen Ebene gezogen hat. Nach zwei weiteren Beispielen mit den-selben Größen L, M, N bringt Monge eine Verallgemeinerung seinerMethode; sind die Größen L, M, X, P, . . . derart aus x, y, z, p, q zu-sammengesetzt, daß aus irgend zweien der Gleichungen

d L = 0; (IM = U; dN = 0; dP = 0, . . .

die anderen alle von selbst schon folgen, so wird eine beliebig ausden Größen L, M, N, P, . . . zusammengesetzte Differentialgleichung

F(L, M, V, P, ...) = <>

in der Weise integriert, daß man aus den Gleichungen

L = «; M = ff«; V = ff’«; P = %«, . . .

zunächst die Größen p und q eliminiert. Indem mau jetzt aus deniiberbleibenden Gleichungen und aus

F(a, <pu , ff’«, n «, . . .) = U

alle willkürlichen Funktionen bis auf eine eliminiert, erhält man eineGleichung V = 0, die nur x, y, z, a und eine willkürliche Funktionenthält; diese Gleichung bildet dann mit der durch partielle Difle-

rentiation gebildeten = 0 zusammen das gesuchte Integral. Eine

Verallgemeinerung dieses Satzes für beliebig viele Variable findet sich

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