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Abschnitt XXVII.
in dem nämlichen Bande der Pariser Memoiren. 1 ) Monge weißt end-lich darauf liin, daß hierbei die Funktion F auch willkürliche Funk-tionen enthalten darf', d. h. daß die gegebene DifferentialgleichungIntegral einer Gleichung höherer Ordnung sein kann.
Im folgenden 2 ) stellt Monge die äußerst wichtige Behauptungauf: Es gibt keine partielle Differentialgleichung 1. Ordnung, welchenicht auf die betrachtete Form zuriickführbar und nicht nach derangegebenen Methode integrierbar wäre, wenn man nur einen Prozeßhätte, die Größen L, M, X, /’,... aufzufinden; aber ihre Aufsuchung,fährt Monge fort, bringt im allgemeinen ebenso große Schwierigkeitenmit sich als die Integration der partiellen Differentialgleichungenselbst 3 ); und der Inhalt der letzten Ausführungen kann nur in sehrspeziellen Fällen nützlich werden; dessenungeachtet ist die Anzahlvon solchen Systemen L, M, X, P, . . . unendlich groß. Nachdem ernoch zwei Beispiele von Wertetripeln L, M, X gebracht hat, stellter sich 4 ) die Aufgabe, a priori ein System von drei Größen L, M, Xzu finden, welche, aus x, y, z, p und q zusammengesetzt, die Eigen-schaft haben, „daß eine beliebige von ihnen eine Funktion der beidenanderen ist“. Man nehme, heißt es, eine beliebige Gleichung F=U
zwischen x, y, z und drei Parametern, und berechne aus ihr und ^ = 0
und 4^- = 0 die Werte dieser drei Parameter, so werden diese die ver-
langte Eigenschaft besitzen, d. h. werden die totalen Differentiale vonzweien derselben gleich Null gesetzt, so wird auch dasjenige desdritten Parameters gleich Null. Monge gibt kein Beispiel 5 ) undauch keinen Beweis für seine Behauptung; indessen folgt, wmnn wirdie erwähnten Parameter L, M und X nennen, aus den drei Gleichungen
dV
dx
dx +
d rdx
er
IX
y -t-+ p
c r
dz
d z -\-
dV
dL
dL +
(I V _
dy
CY
TM
dM
dV
dx
dX= 0 :
cY
dy
</ ■
cV
dz
= 0
mit Berücksichtigung von
D O
dz = pdx ~r qdy
') Histoire de l’Academie des Sciences 1784 ( 1787 ), p. 557 . Monge bringtals Beispiel die Verallgemeinerung eines schon von Lagrange behandeltenFalles. *) Ebenda, p. 188 . ’i Mais cette recherche comporte en genrfaldes difflcultes aussi grandes que celles du calcul integral des equations auxditferenees partielles. 4 ’) Histoire de l’Academie des Sciences 1784 ( 1787 ),
p. 185 . 6 ) fn dem obigen Beispiel war offenbar
zu setzen.
V = (x — Lj* + {y — Mr + (z — N)* — IY = 0