Totale und partielle Differentialgleichungen.

9*13

immittelbar

8L

dL

cV

8 m

d.U

d v

8X

.dx = o.

Man erkennt leicht die Definition der Berührungstransformationenwieder, wie sie Lie für den dreidimensionalen Raum beim Besteheneiner einzigen Relation zwischen ursprünglichen und transformiertenKoordinaten aufstellt; nur hat Lie noch zwei weitere Ausdrücke p 1und q x , die, wenn L, M, X hzw. den Variahein x, y, z entsprechen,in der Monge sehen Schreibweise durch die Gleichungen

dV

8L

+ Pi ■

r,V

dx

0 und

8 V> .V

<h

ar = o

8 X

definiert wären. Doch fehlt Monge die Vorstellung, daß es sich heiseiner Methode um eine Transformation handelt; um so mehr fehltnatürlich die Kenntnis der geometrischen Eigentümlichkeit dieserTransformation, die den Namen Berührungstransformation veranlaßthat. Monge wendet seine Theorie auch auf totale Gleichungen anund integriert mit ihr die allgemeinen Gleichungstvpen

l'\P, Gy

pir)] = 0 und

ph

yi + ;>*

)- (?' +

u

Sucht man zwei Funktionen M und X von x, y und p = ^ von

der Art. daß aus der einen der beiden Gleichungen dJl = 0 und

dX= 0 auch die andere folgt, so hat man nach Monge eine

Funktion V von x, y und zwei Parametern zu nehmen und aus

V = 0 und d V = 0 die zwei Parameter zu berechnen. Die allgemeine

Theorie ist in folgendem Theorem enthalten 1 ): Sind n Größen M, X,

, , i .. . , d y dp dq

1\ Q, . . . gegeben, die sich aus a?, y, p = dx , y = ltx , >’ = llx , ■ ■ ■

bis zu den Differentialquotienten (n — l) ,cr Ordnung einschließlich zu-sammensetzen, und folgen aus einer einzigen der Gleichungen

dM - - 0, dX = 0, dl’ = 0, dQ =- U, . ..

alle übrigen, so wird eine totale Differentialgleichung (« — l) tor Ord-nung F(M, X, F, Q, . ..) = () zum endlichen und vollständigen In-tegral die Gleichung besitzen, die sich durch Elimination der ri — lGrößen p, q, r, ... und einer der willkürlichen Konstanten a, b, c,aus den n -f 1 Gleichungen

.1/ = «•; A = b\ P = c; Q = d; . . ., Fi», b, c, d, . . .) = O

l ) Histoire de l’Academie des Sciences 1784 (1p. 189.