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Abschnitt XXVII.
ergibt; das Resultat dieser Elimination wird eine Gleichung zwischenx, y und n willkürlichen Konstanten sein. Eine elegante Methodefür partielle Gleichungen 2. Ordnung, die auf Berührungstransfor-mationen beruht, werden wir bei Legendre (vgl. S. 101;») antreffen.
Von den partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnungmit drei Variabein wurde zuerst die Gleichung der Saitenschwin-gungen behandelt. Im vorigen Bande sind bereits die Bemühungenverschiedener Mathematiker um diese Gleichung geschildert; hier istLagrange zu nennen, der in den Abhandlungen der Turiner Aka-demie der Natur und Fortpflanzung des Schalles zwei eingehendeUntersuchungen widmet und an das erwähnte Problem von vornhereinmit der ganz bestimmten Absicht herangeht, Eulers Auffassung vonder Natur der willkürlichen Funktionen einwandfrei zu beweisen. Beidieser Gelegenheit hat Lagrange Ausdrücke aufgestellt, welche mit denFormeln für die Koeffizienten einer Fourierschen Reihe überein-stimmen, was zu der Behauptung Veranlassung gegeben hat, La-grange habe bereits die Theorie der Fourierschen Reihe besessen;in Wirklichkeit ist die Lagrangesche Entwicklung prinzipiell davonverschieden; man könnte sie eher als eine Formel zur Interpolationdurch trigonometrische Funktionen auffassen. Lagrange geht ausvon einem Simultansystem 1 ), das wir kürzer in die Gleichung
d-i/ 1
<ir-
e(i/ <+1 > - 2.yW + ?/- l 0
zusammenfassen können, wenn i von 1 bis m — 1 läuft und y undbeide Null sind; diese Gleichungen stellen die Schwingungeneiner endlichen Zahl von Massenpunkten dar. Die Integration wirdnach der d’Alembertschen Methode für derartige Simultansystememit Hilfe unbestimmter Multiplikatoren bewerkstelligt, dabei gehenauch die Geschwindigkeiten in die Rechnung ein. Nach ziemlichweitläufigen Rechnungen ergibt sich endlich für die Koordinatedes p ten Massenpunktes eiu komplizierter Ausdruck 2 !, der überdiesvon den Anfangsbedingungen abhängig ist. Aus dieser Formel erhältLagrange 3 ), indem er die Zahl der schwingenden Punkte unendlichgroß annimmt,
y =
jrX . nx
X Sin ■ — X COS2 a 2 a
nHt2 T
, . 2ltX . inX
+ sin -- x sin - X cos2 a 2 o
in IH2 T
+ -■■).
') Miscellanea Tauriuensia, t. I 3 (1759), p. 26. *) Ebenda, p. 44.
*) Ebenda, p. 56.