Totale und partielle Differentialgleichungen. 985

wozu noch ein additives Glied tritt, das er im folgenden gleichNull setzt.

X und Y sind hierbei die Anfangskoordinaten, x und y die Ko-ordinaten zur Zeit t, a die Länge der Saite und H eine bekannte

konstante Größe. Lagrange bemerkt hierzu, daß das Zeichen /nur ein Summenzeichen sei, sagt aber fast unmittelbar darauf, daßdie Integrationen bei variabeln X, Y und konstanten x, t auszuführenseien. Wesentlich ist nun, daß Lagrange die Reihe unter demIntegralzeichen nicht etwa gliedweise integriert, sondern vor derIntegration diese Reihe zu summieren sucht, da er für y nicht eineunendliche Reihe, sondern die schon bekannte Form mit zwei will-kürlichen Funktionen erhalten will. Zu diesem Zweck wird der Aus-

druck 2 sin - X cos in bekannter Weise durch die Summe

2 a 2 i

zweier Sinus ersetzt; es ergibt sich:

in Bi

dx Y sin

X sin

// = ±

»! Ht

dx Ysin

X sm

Da m unendlich groß ist, heißt es weiter, wird, was auch x undt sein mögen, rn immer eine ganze Zahl, der Sinus davon

und folglich die betreffenden Integrale Null sein. Eine Ausnahmetritt nur ein, wenn gleichzeitig der Nenner Null wird; den Wert von

^ bestimmt Lagrange durch Differentiation von Zähler und Nenner

und kommt schließlich zum gesuchten allgemeinen Integral. Die ganzeumständliche Ableitung des bekannten Resultats hat er hauptsächlichunternommen, um zu zeigen, daß es sich ohne alle Voraussetzungenüber die Natur der darin auftretenden willkürlichen Funktionen ge-winnen läßt; die Schwächen seiner Methode und insbesondere des be-nutzten Grenzübergangs hat neben anderen d’Alembert klar gestellt 1 ).Noch ist zu bemerken, daß Spätere aus Gehässigkeit gegen Fourier

') Besonders in verschiedenen Bemerkungen im 1. und 5. Baud seinerDpuscules mathematiques. Man vgl. übrigens noch Riemann, Partielle Differen-tialgleichungen, bearb. von K. Hattendorf 1869, S. 200, und Reiff, Geschichteder unendlichen Reihen 1889, S. 132.