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Abschnitt XXVII.

dessen Reihen als Lagrangesche Formeln bezeichnet haben; man istindessen längst davon zurückgekommen.

Die partielle Differentialgleichung der Saitenschwingungen selbstbehandelt Lagrange auf eine ganz neue, eigenartige Weise; er führtsie nämlich auf die Integration einer gewöhnlichen Differentialglei-chung 2. Ordnung zurück, wenn er auch diese Reduktion nicht aus-drücklich als Ziel seiner Methode hinstellt. Naturgemäß ist die er-wähnte Reduktion auch ein wenig umständlich, und es ist z. B.d’Alemberts Zurückführung des Problems auf ein Simultansystemvon totalen Gleichungen 1 ) unzweifelhaft eleganter; nichtsdestowenigerist der Gedankengang Lagranges als äußerst geistreich und originellzu bezeichnen; wir können hierbei, weil ihn sein Erfinder konsequentfür eine Reihe viel komplizierterer Gleichungen in Anwendung brachte,sogar von einer wirklichen Methode sprechen. Die partielle Gleichung

/d*z\ _ _ /<Pz \v/f*/ Wx’/

multipliziert Lagrange 2 ) mit einer Funktion von x allein, die Mheißen soll. Zweimalige partielle Integration nach x ergibt sodann

01 + ^0

Die physikalischen Anfangsbedingungen der Aufgabe verlangen, daßz für zwei Werte x = 0 und x = a beständig, d. h. für jedes t, gleichNull ist; das Gleiche verlangt Lagrange von der Funktion M. Wirdjetzt zwischen den Grenzen 0 und a integriert, was in der Schreib-weise nicht besonders ausgedrückt ist, so ergibt sich die Gleichung

die auf Grund der Annahme

(k bedeutet hierbei eine Konstante) in

j'QlUx-tcJ

übergeht. Hieraus erhält man endlich mittels der Substitution

/ zMdx = s

') Vgl. fliese Yorl., IIP, S. 901. *) Miscellanea Taurinensia, t. II*, 1760/61,

p. 20.