Totale und partielle Differentialgleichungen.

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— wobei das Integral natürlich wieder zwischen den Grenzen x = 0und x = a zu nehmen ist, so daß s eine Funktion von t allein dar-stellt — die Gleichung

- kc - s ’

welche, wie Lagrange sagt, zu integrieren ist, indem mau die Zeit tals einzige Variable ansieht. Damit ist die Integration der ursprüng-lichen partiellen Differentialgleichung auf diejenige der beiden totalenGleichungen

(d J) = kM untl © = kcs

zurückgeführt, die sich nur durch den konstanten Faktor c unter-scheiden; nach ihrer Integration ist nur noch z so zu bestimmen, daß

j zMdx = s.

Lagrange führt nun zunächst die Gleichung

s = S cos t V — ch — H sin tY— cl>

Y— ci-

ein, wo S und R die Anfangswerte von s und d. i. von fzMdx

bzw. I Mdx bedeuten, und kommt dann mit Hilfe verschiedener

geschickter, allerdings nicht ganz korrekter und ausreichender Schlüssezu dem Integral

(* + ty c) + x(x - ty c ) J Vdx ~J Vdx i,

2 + ä y- c

worin Z und V willkürliche Funktionen sind, die den Anfangs-bedingungen entsprechend gewählt werden müssen; das erste Integral

I Vdx hat dabei die obere Grenze a;+f]/c, das zweite x — tYc. Nachderselben Methode behandelt Lagrange 2 ) die Gleichung

&*)-«(£) + »

wo y eine beliebige Funktion von x und t ist; die Gleichung

& = ”(££) + «(£)+»*>ersetzt er durch die beiden Gleichungen

dz

dt

===== u:

fl ud t

d u> ,d x

, d-z ,

+ ° fix'- + V-

l ) Miscellanea Taurinensia. t. 1I S , 1760/01, p. 27. *) Ebenda, p. 104.

■’*) Ebenda, p. 110.