Totale und. partielle Differentialgleichungen

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auf die Integration von

zurück 1 ) rmd zeigt den Zusammenhang mit der Riccatischen Glei-

chung für spezielle Fälle. Dieselbe Reduktion führt kurz darauf 2 )Euler aus und verwandelt seine totale Gleichung durch die Sub-stitution

fqdr

p = c

in eine solche 1. Ordnung. Er setzt auch versuchsweise

y = v 0 (w),

wo w eine Funktion von x und t, v eine solche von x allein ist, undfindet, daß v eine lineare Funktion von x,

X = C ■ v~ i und

ist. 8 ) In einer anderen Abhandlung aus derselben Zeit 4 ) nimmtEuler eine bestimmte Form des Integrals an, sucht aus ihr r alsFunktion von x so zu bestimmen, daß die Gleichung

Iddy\ = (ddy\

UxV \ dt* /

erfüllt wird, und erhält so verschiedene integrable Differentialglei-chungen dieser Form. So führt ihn die Annahme

"(j udx + tj,

wo P und u Funktionen von x sein sollen, durch Einsetzen in dieDifferentialgleichung auf simultane totale Differentialgleichungen fürP, n und r; es ergibt sich

P =ax + fl; u

[ux + ßy

Im folgenden geht Euler zu Integralen der Form

y — PF ( / udx + t) -f- QF' ( / tidx + + • •

über, wo P, Q, . . ., u bestimmte Funktionen von x, r eine willkür-liche Funktion und T', . . . ihre Ableitungen bedeuten; er behandeltder Reihe nach Fälle, in denen das Integral 1, 2 und mehr Glieder

‘) Miscellanea Taurinensia, t. IP, 1760,Gl, p. 98. *) Novi Commentarii

Aeademiae Petropolitauae, t. IX, 1762 63 (1764), p. 292. s ) Burkhardt, a. a. 0.,

Heft 2, S. 349, 355. Miscellanea Taurinensia, t. IIP, 1702 65 (1766), p. 27

bis 59.