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Abschnitt XXVII.
besitzt und erhält so Gleichungen, die in endlicher Form integrabelsind; zu der Heranziehung der Derivierten der willkürlichen Funktionmag wohl der Umstand mitgewirkt haben, daß Euler bereits früher(vgl. unten S. 990) eine Gleichung integriert hatte, in deren Integraldie Differentialquotienten der willkürlichen Funktion auftreten. End-lich ist noch d’Alembert zu erwähnen, der die Gleichung
'lj? =
dx* * dt*
durch eine Summe von Gliedern
zu integrieren sucht, wo £ eine Funktion von x allein ist 1 ); er erhält
eine Gleichung, über deren Weiterbehandlung bereits berichtet wurde(vgl. S. 883).
Das Problem der von einem Störungszentrum ausgehenden Wellenführt Euler schon 1759 auf die partielle Gleichung mit veränder-lichen Koeffizienten
/ <1 (I s\ n / ds \ / d ds \
\ dt-) = V \d 77 + \d F s 7
zurück, die er auf eine lliccatisehe reduziert; er findet daraus, daßsich für |das räumliche Problem, d. i. für n = 4, die Aufgabe ele-mentar lösen läßt und errät schließlich aus einigen partikulärenIntegralen die unten angegebene allgemeine Form des Integrals.Kurz darauf behandelt er das Problem wieder in einem Brief anLagrange 3 ) ohne neues zu bringen. Er verlangt, daß die Ge-schwindigkeit in allen Punkten gleichen Abstandes von dem Zentrumdieselbe ist, und erhält die Gleichung
1 / ddu\ — 2 !/ 2 /du\ l
2 <jh \ dt 1 ) = V i + V \d v) + V ’
die aus der vorigen im Falle n = 4 durch s = -y- entsteht. Apres
plusieurs recherches, sagt er, j’ai enfin trouve