Totale und partielle Differentialgleichungen.

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« = T ' 4 a <r [F + 0] — tYi‘><jh)]

-V ~t'\y — ty (2 (/!>)] - ~ 4 ' [ r - t Y (2 r/h )],

wo cp und ip willkürliche Funktionen, cp', tp' ihre Ableitungen be-deuten. Lagrange behandelt die von Euler aufgestellte Gleichungmittels seiner oben geschilderten Methode der Reduktion auf totaleGleichungen, nachdem er sie auf die Form

CI?') ~ C (ft 2 ) +

gebracht hat, und erhält so für den Multiplikator M die Hilfsgleichung

d-M _ -2dM _dx i xd.c

Diese Gleichung besitzt das für x = 0 verschwindende IntegralM = A (sin x ]/— k — x }/— k cos x Y~ !<)■ 1 )

Nach den physikalischen Bedingungen des Problems soll M auch fürx = a zu Null werden; das führt auf

a ]/— k = tg a Y~ k

als Bestimmungsgleichung für k. Lagrange bemerkt 2 ) auch, daßdie gegebene Gleichung durch die Substitutionen

oder auch durch

dzx-

xdx

-2g +

xdzd x

d i/

Z = »- X dx

auf das Problem der Saitenschwingungen zurückgeführt wird, und

O O O /

geht sodann zu der etwas allgemeineren Gleichung

/« »\ .W + mc

über 3 ); seine Methode führt hier zu der Gleichung

d-3I

dx i

m dMx d x

= UM,

deren Integration wir bereits besprochen haben (vgl. S. 912); der

‘) Miseellanea Taurinensia, t. II 2 , 1760/61, p. 58. *) Ebenda, p. 74.

Ebenda, p. 81.