992
Abschnitt XXVII.
Übergang zum allgemeinen Integral der gegebenen partiellen Glei-chung geschieht durch ähnliche Schlüsse wie beim Problem derSaiten Schwingungen und ergibt
.r(x + tyc) + 4(x — tyc) , T , r(x + ty~i) + ix — tyc)
z = A - 2 i li 2
+ q r"(x + tyc) + z}"(x — tyc) ^ .
wo r und A willkürliche Funktionen, V, U", . . ., A', A", . . . ihreAbgeleiteten und A, B, C, . . . die Entwicklungskoeffizienten der La-grangeschen Form des Integrals der Riccatischen Gleichung sind(vgl. S. 912), wenn man in diesen — m durch m -f 2 ersetzt. Lagrange knüpft daran auch die Bemerkung, daß die spezielle an-gewandte Methode stetige Änderung von z zugleich mit x voraus-setze, weshalb V und A nicht völlig beliebig seien. 1 ) Endlich be-schäftigt sich Euler 2 ) mit der Integration 3 ) von
' dt V xäx 1 / x \dx!
diese Gleichung wird durch die Substitution z = x' u in eine Gleichungderselben Form übergeführt, was die Wegschaffung des Gliedes mit
^ durch passende Wahl von X ermöglicht. Euler setzt ein In-tegral in folgender Form an:
z = Ax'T(x ± at) 4- Bx n + 1 r' {x ± at ) + • ■ • 4 )
und findet als Bedingung für das Bestehen dieser Gleichung dieRelation
c = -- n (n — 1).
Ist n eine negative ganze Zahl, so bricht die Reihe von selbst ab,und man gewinnt auf diese Weise wieder integrable Fälle. Euler integriert die Gleichung auch in der Form, daß die willkürlicheFunktion statt differentiiert wiederholt integriert auftritt; interessanterscheinen verschiedene Bemerkungen, welche zeigen, daß sich Euler schon damals mit der Umformung partieller Gleichungen 2. Ordnungdurch Transformation, wenigstens in speziellen Fällen, beschäftigt hat.So ist darauf hingewiesen, daß die Gleichung
') Miscellauea Taurinensia, t. II*, 1760/61, p. 92. s ) Ebenda, t. III 8 ,
1762,65 (1766), p. 60—91. *) Erwähnt sei folgende Ausdrueksweise: la Solution
complete qui nous decouvre ä la fois toutes les fonctions possibles (ec, welchedie Differentialgleichung erfüllen). Ebenda, p. 60. 4 ) Das ist dieselbe Form,
die wir eben bei Lagrange getroffen haben; die beiden Resultate lassen siehleicht ineinander überführen.