Totale und partielle Differentialgleichungen.

993

1 d d z d d zna dt- dx“

Uzxx'

dz

in der also das Glied mit , fehlt, durch die Substitutionen

dx ’

t = o (— 1 + + 4Ä'); k = k + 1 ff; ]/1 + 4/r: tt = , +

m

in

dz medx ' x

1 ddu ddu kuaa dt % dx~ xx

übergeführt wird. Setzt man k = 0, so ergibt sich k’ = 2, daraus

ie Gleichung der

iddz\ iddz\

'.dt* / = a(> '.dx-/

(du\ idu\

\dV =a[ Jx)’

k" = 6 usw. Ferner ist die Gleichung der Saitenschwingungen

vermöge der Substitution

O

auf

das ganze Problem also auf die Integration zweier linearer partiellerDifferentialgleichungen 1. Ordnung zurückgeführt, die durch Benutzungder Gleichung

"«=<;)+•'^5:1

zunächst auf

u = 1* (x + at)

und damit zum allgemeinen Integral führen.

Gegenüber diesen Untersuchungen, die alle den Charakter desWillkürlichen, Zufälligen an sich tragen, bedeutet die Behandlungder partiellen Gleichung 2. Ordnung in Eulers Integralrechnungeinen ganz wesentlichen Fortschritt. Euler schiebt nämlich nachden Gleichungen 1. Ordnung, bevor er zu höheren Gleichungen über-geht, ein eigenes Kapitel ein, das nur von der Umformung der par-tiellen Differentialgleichungen durch Einführung neuer Variablenhandelt, und zeigt so schon durch die ausgezeichnete Stellung, die erdiesen Untersuchungen einräumt, sowie durch die eingehende Behand-lung der ganzen Frage, daß er die Integration der höheren partiellenGleichungen prinzipiell auf ihre Transformation in eine geeignetekanonische Form gegründet wissen will. Die von Euler behandeltenTransformationen zerfallen in zwei Arten; die erste ersetzt nur dieabhängige Variable z durch eine neue v, während die unabhängigenVeränderlichen X und y in der Gleichung belassen werden; hierher