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Abschnitt XXVII.

gehören die Substitutionen z = Pv 1 ) und z = P + v, wo unter Pund v Funktionen von x und y zu verstehen sind. Wichtiger ist dieEinführung neuer unabhängiger Variablen t und u an Stelle von xund ?/; die Formeln, welche die Differentialquotienten nach x undy in den neuen Veränderlichen ausdrücken, stellt Euler für denspäteren Gebrauch in übersichtlicher Weise zusammen. Der Behaup-tung, Euler behandle die Gleichung 2. Ordnung methodisch, plan-mäßig mittels Transformationen, scheint nun zu widersprechen, daßer in den zunächst folgenden Beispielen die Methode der Reduktionauf eine Normalform durch Einführung neuer Variablen nicht an-wendet. Indessen handelt es sich hierbei um Beispiele, die sich ebenauf anderem Wege einfacher oder rascher erledigen lassen als durchjene immerhin einen ziemlichen Formelapparat erfordernde Reduktion.So behandelt Euler zuerst ausschließlich Gleichungen, welche nureinen einzigen von den Ditferentialquotienten 2. Ordnung enthalten.

Die Gleichung = P, wo P eine Funktion von x, y und z ist, in-tegriert Euler , indem er y als konstant ansieht und nachträglichdiese Beschränkung fallen läßt; er erhält schließlich

z = / dx I Pdx + xf(y) + F(y).

Die Gleichung

O-O + v

läßt sich mittels der Substitution

= v

behandeln, r wenn P und Q die Variable z nicht enthalten. Inletzterem Fall hat man sich y als konstant zu denken und die totaleGleichung

ddz = Pdxdz + Qdx 2

mit dem Parameter ?/ zu integrieren; das allgemeine Integral („integralecompletum“) ergibt sich, wenn man die beiden Integrationskonstantendurch Funktionen von y ersetzt. 2 ) In der Gleichung

setzt Euler

l fxdy) = °*’)

z = e" x Y,

‘) Institutiones calculi integralis, vol. III, p. 194. *) Ebenda, p. 209.

Man beachte, daß ein derartiges Ersetzen von Konstanten durch variable Größender Entstehung einer besonderen „Methode“ der Variation der Konstanten nurgünstig sein konnte. 3 j Ebenda, p. 221.