Totale und partielle Differentialgleichungen.
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wo Y eine Funktion von 1 / allein sein soll, und erhält so die totaleGleichung
ad Y ,
Y = ad U
mit dem Integral
Y=e
Daraus schließt Euler auf das Integral der ursprünglichen Gleichungin der Form
UX +
bemerkt aber ganz im Einklang mit seinen früheren Ansichten überdie Entwickelbarkeit einer willkürlichen Funktion, daß diese Dar-stellung mit unendlich vielen Integrationskonstanten dem Integral mitzwei willkürlichen Funktionen deshalb nicht gleichwertig zu erachtensei, weil man sie nicht beliebigen Anfangsbedingungen anpassenkönne. 1 ) Euler sucht sodann das Anwendungsgebiet der eben be-nutzten Substitution z = e ax Y bzw. z = e ay X, wo X eine Funktionvon x allein ist, zu erweitern; insbesondere s ) verwertet er sie fürdie Gleichung
wo die Koeffizienten Funktionen von x allein sind. Den allgemeinenFall 3 ), daß P, Q, II, S Funktionen von x und y sind, unterwirft erder Transformation z = e'v, wo V eine Funktion von x und y , v einenoch zu bestimmende Größe ist; dieser Gleichungstvpus ist von großerWichtigkeit. Gleichungen, die mehr als einen Dilferentialquotienten2. Ordnung enthalten, behandelt Euler nur durch Transformation,ln die Gleichung der Saitenschwingungen
setzt er 4 )
t = icx -j- fiy und t< = yx -j- dyund erhält so die neue Gleichung
>" ! “ , C/,) + ( aä
. Iddz\
w aa )
wobei jetzt z als Funktion von t und u aufzufassen ist. Die Annahme
« = 1, y = 1, ß = «, d = — a
liefert
‘) Vgl. S. «Jlö. *) Institutiones calculi integralis. vol. 111, p. 2‘24.
3 ) Ebenda, p. 234. 4 ) Ebenda, p. 225.
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