Totale und partielle Differentialgleichungen.

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seiner Methode sich nicht fügt. Für diese Gleichung setzt er einIntegral in der Form

z = x*cf*(A + alx + ßy)

an; p und lassen sich hierbei durch X ausdrücken. Die Gleichung

+ Bz

hatte Euler von einem hydrodynamischen Problem ausgehend schonfrüher in einem speziellen Fall behandelt; jetzt verlangt er nur, daßP, Q, B Funktionen von x allein sind. Diese verallgemeinerte Glei-chung soll nun mittels der Substitution

* - m O + Xv ’

wo M und N Funktionen von x allein sind ; wieder in die nämlicheForm

(ddi ;\ . , fd d v\ i dv\

U0" /, U*) + 6 '(5l)

+ Hv

übergeführt werden 1 ), wo auch M f N, F, G, H Funktionen von xallein sind. Durch geschickte Kombination erhält Euler drei Bestim-mungsgleichungen für P, Q, B, wenn F, G, H gegeben sind, nämlich

und

P = P;

Q- G +

dFd x

2 Fd 3131 dx

GdM dG Fdd 31 2 Fds 2 Fd 3F sdl-3fdx ' dx 3ldx- dx M 3ldx t dx

d Fd 31Mdx 1 ’

hierbei bestimmt sich das Verhältnis s =

JV

.1/

aus der Gleichung

c?

C = H -

Gs

■ Fss,

worin (.' eine willkürliche Konstante bedeutet. Ist also die transfor-mierte partielle Gleichung mit der abhängigen Veränderlichen v in-tegrabel, so ist es auch die Gleichung in z vermöge der Beziehung

z = M(sv +

Durch Spezialisierung der Funktionen F, G, H erhält Euler endlichverschiedene integrable Gleichungen. Die partielle Gleichung

_L _ /ddv\ , 77/ dv \

cc \dt* ' ~ \d. SV Ü \dS/ +

vT,

1 > Institutiones calcnli integralis, voi. III, p. 222.

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