Abschnitt XXVII.
wo U und T Funktionen von x allein bedeuten, behandelt Eulerauch an anderer Stelle 1 ) in einer Abhandlung über die Luftbewegungin Tuben nach seiner früheren Methode (vgl. S. 989), indem er nachIntegralen der Form
v = Lf (»S ± et) + Mf(ß ± ct) + • • •
sucht.
Es wurde behauptet, daß Euler in der Integralrechnung beiGleichungen 2. Ordnung hauptsächlich durch Transformation, sei esder unabhängigen oder der abhängigen 2 ; Variabein — oft allerdingsnur mittels mühsamer, weitschweifiger Rechnungen — zum Ziel kommt;er selbst sagt 3 ), seine Methode bestehe darin, die gegebene Gleichungdurch Einführung neuer Variabeln auf die Form zu bringen
CJ+ *’(*)+ <) + **+ 8
Diese Gleichung fällt aber unter die Kategorie derjenigen Gleichungen,welche nur einen einzigen Dift'erentialquotienten 2. Ordnung enthalten,und ist mit diesen Gleichungen ausführlich behandelt worden. Esist sehr wesentlich, daß Euler das Methodische dieser Reduktionbetont; allerdings ist der Raum, den er diesem Gedanken gönnt, ge-ring im Vergleich zu dem Platz, der anderen Anwendungen der Ein-führung neuer Variabein, wie der Reduktion auf die Ausgangsformoder der Aufsuchung integrabler Fälle eingeräumt ist.
Condorcet nimmt als Integral der linearen Gleichung 2. und3. Ordnung die Gleichung z = + an und sucht von einer Reihe
mit unendlich vielen derartigen Gliedern auf die Darstellung mit will-kürlichen Funktionen überzugehen. 4 ) Die Gleichungen mit nichtkon-stanten Koeffizienten sucht er mittels Reihen zu lösen. 5 )
D’Alembert behandelt 6 ) neben anderen Gleichungen 2. Ordnung
den Fall
wo \ und g Funktionen von x, b eine Konstante bedeuten, und ver-sucht ein Integral der Form
l ) Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. XVI, 1771 -1772), p. 355.Von letzterer Art sei noch die Substitution
i d d / d r \
w.) + ''UJ +
calculi integralis, vol. III, p. 323 Gebrauch macht. *) Ebenda, p. 261.