Totale und partielle Differentialgleichungen.

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'/ = Xu

X'du X"ddu

dx dx- ' ’

wo X, X', X" . . . passend zu bestimmende Funktionen von x sind.

Laplace hat die Euler sehe Idee der Zurückführung der par-tiellen Gleichung 2. Ordnung auf die eben angegebene kanonischeForm wieder aufgegriffen; er fragt daran anknüpfend nach Bedingungen,unter welchen diese in endlicher Form integrabel ist. Für das Ent-stehen seiner Abhandlung sind Eulers Vorarbeiten in verschiedenerWeise bedeutungsvoll geworden: die Transformation (transformation)selbst, die Ausnahmen, die sie erleiden kann, das Auftreten der Diffe-rentialquotienten oder Integrale der willkürlichen Funktion in derIntegralgleichung, dies alles hat, wie Laplace selbst zugesteht 1 ),schon Euler . Laplaces Verdienst ist, daß er die mögliche Formdes Integrals genauer festlegt, daß er nicht wie Euler nur Differen-tialgleichungen sucht, die in geschlossener Form integrierbar sind,sondern die Bedingungen hierfür in Form von Gleichungen angibt,daß er endlich — und darauf legt er selbst großen Wert — allesanalytisch, in bequemen Formeln darstellt. Laplace reduziert wieEuler die Gleichung

A Z -f-

T,

in welcher alle Koeffizienten Funktionen von x und y, aber nichtvon z sind, durch Einführung neuer Veränderlicher <a und 6 auf dieNormalform

«-(£«) + *•-(KD ■•&) + ''+ 7,

wo jetzt m, n und l Funktionen von a und ü sind. Hierbei sinddie alten und die neuen Variabein durch die Gleichungen verknüpft:

(s)-®-[-;* + V( :*■-')]

und

Diese Gleichungen reduzieren sich, wenn gleichzeitig u = 0 und

/j = 0, auf = 0 und = 0, d. h. ca und 0 sind Funktionen

von y allein; in diesem Fall, den auch Euler schon eingehend be-handelt hat, ist, wie Laplace im folgenden findet 2 ), ein „vollstän-

h Vgl. hierzu Histoire de TAcademie des Sciences 1773 (1777), Histoirep. 43 tf. *) Ebenda, p. 360. Vgl. auch Memoires presentes par divers Savans.t. VI (1774), p. 655.