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Abschnitt XXVII.
diges“ Integral in endlicher Form nur dann möglich, wenn d =0 ist;das schließt natürlich nicht aus, daß oft partikuläre Integrale in ge-schlossener Form angegeben werden können. Als zweiten Ausnahme-fall nennt Laplace das Bestehen der Gleichung
heutzutage als parabolischer Fall bezeichnet; hier sind die Gleichungenfür co und 6 nicht mehr unterschieden, man erhält nämlich
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(1°-) und (i 6 )\dy' \ßx'
Man kann aber, wie Laplace zeigt, diesen Fall auf den Typus a = ü,ji = 0 reduzieren, wenn man aus
die Variable x als Funktion von co und y berechnet und den betr.Ausdruck in die gegebene Differentialgleichung einführt, so daß alsoeine Gleichung in z, co, y entsteht. 1 ) Für die folgende Untersuchungwird von Wichtigkeit, was Laplace über die Form der Integrale derlinearen Gleichungen 2. Ordnung behauptet. Nach eigener Aussagehatte Laplace beobachtet, daß die willkürlichen Funktionen imIntegral einer linearen Gleichung immer selber linear Vorkommen.Differentialquotienten und Integrale der willkürlichen Funktionenzieht schon Euler zur Bildung des allgemeinen Integrals heran;berücksichtigt man endlich noch die Arbeiten Condorcets aufdiesem Gebiet, so ist damit aufgezählt, was Laplace über denGegenstand bekannt war. Auf die Methode, wie er sodann die Formdes Integrals von vornherein zu ermitteln sucht, kann, wenngleichauf die mühsame Untersuchung eminenter Scharfsinn verwendet ist,hier nicht eingegangen werden, da ihre Darstellung zu viel Platz be-anspruchen würde, und der Wert der betr. funktionentheoretischenSchlüsse wenigstens ohne Modifikationen und Ergänzungen verhältnis-mäßig gering ist. Laplace kommt durch Überlegungen, die er fürdie Gleichung 1. Ordnung ausführlich angibt, zunächst zu dem Re-sultat. daß das Integral die willkürlichen Funktionen cp und ip, wiebereits beobachtet, linear und wiederholt differentiiert oder integriert
l ) Auf diesen Fall, der sich immer auf die Gleichung der Wärmeleitung
^ a . — ^ U reduzieren läßt, ist Laplace später wieder zurückgekommen: Journalox- dy
de l’Ecole polyteehnique, cah. 15, 1809, p. '235.