Totale und partielle Differentialgleichungen.

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enthält; des weiteren findet er, daß die Argumente von cp undFunktionen von den Variabein co bzw. 6 allein sein müssen, ein Um-stand, der eine ganz bedeutende Vereinfachung des Integrals zur Folge

hat, da sich Ausdrücke wie l‘l]c6(p(a) auf einfachere Formen, alsohier <p(w) • / Ed 0, reduzieren lassen.

Nach diesen Voruntersuchungen wendet sich Laplace der eigent-lichen Aufgabe zu; er verlangt, daß die willkürliche Funktion nichtunter dem Integralzeichen auftreten soll, setzt T = 0 und überdieszur Vereinfachung auch «'• = 0. Die einfachste Form, die das Integraldann haben kann, ist

z = A ■ (w).

Laplace substituiert diesen Ausdruck in die kanonische Differential-gleichung und setzt — die Berechtigung hierzu ist leicht einzusehen— den Koeffizienten von <p(ra) sowie den der Abgeleiteten rjp 7 fro)gleich Null. Es ergibt sich so

0 = (|~) -f- m A und 0

ö + ” ■ O+ lA

Aus dieser Gleichung lassen sich aber mit Hilfe der ersten und derdaraus durch partielle Differentiation nach w hervorgehenden Gleichungdie Differentialquotienten von A eliminieren: man erhält nach Divi-sion mit A die Bedingung

0 = / -

— tim,

von deren Bestellen die Existenzmöglichkeit eines Integrals der Form

z = A <p (w)

abhängt. Diesen Weg schlägt indes Laplace nicht ein, sondern sagt,daß die Differentialgleichung

u = (/ofgV + m ' © + n ' ife) + lz

mittels der Substitution

s (I) = (ll ) + mzin

0 = 1 d tl!) + ndn + z-[l-(l *) - m »]

übergeht: unter der Annahme

z — A ■ qp(oj)

reduziert sich dann die Gleichung