Totale und partielle Differentialgleichungen.

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= [(30) + *0) + [( AI ] < 5 P/( “)

über, die sich wegen der für A geltenden Relationen auf

reduziert. Das heißt nichts anderes, als 2 (/ ) ist Integral einer kano-nischen Differentialgleichung 2. Ordnung und enthält nur eine will-kürliche Funktion <p/(a), aber keinen ihrer Differentialquotienten.Dieser Fall ist aber als der einfachste bereits untersucht und dieBedinguns/sgleichung für sein Bestehen aufgestellt; sie lautet

0000 n 7

0 = p) _ P"‘ (/) ) - «»,<')

' C (o

Die kanonische Gleichung 2. Ordnung in z {1 ’>, m‘, n, V hat sich ganzunabhängig von der speziellen Annahme über die Form des Inte-grals z ergeben; sie wird also auch Geltung haben, wenn

= A ■ <p(u) 4- A l ■ q)j(co') 4 A n ■ q> n (<o).

Durch Substitution dieses Ausdrucks in die ursprüngliche Differential-gleichung (mit der abhängigen Veränderlichen z) ergeben sich aberGleichungen für A, A 1 , A u , deren Berücksichtigung

= [ ( p\) + mÄI ] • 9>/0) + [( d ae) + »»-1"] • *•//(>)

liefert. Und das heißt gar nichts anderes, als Z I ' ) enthält eine will-kürliche Funktion cp/i w) und deren erste Derivierte <fn(a ), weshalbauf die Differentialgleichung 2. Ordnung 2 (/ ) die Überlegungen deseben untersuchten Falles angewendet werden können.

So kann man weiter schließen. Die bei dieser Methode — Kas-kadenmethode hat man sie später genannt — auftretenden Größen pWmW, l ,r \ ,?( r ) mit dem Index r gehen aus den u, nt, l, z mit demIndex r — 1 genau in derselben Weise hervor, wie die u 1 , m 1 , V, z 1aus ft, m, I, z selbst. Der Wert von 2 < r > läßt sich indessen leichtindependent darstellen, da, wie Laplace zeigt, die Gleichung

•>-(’£)+

mit dem Integral

• t (fl)

’i Diese Gleichung; gilt natürlich nicht für einen beliebigen, sondern nurfür denjenigen Index r, der das Abbrechen der Keihe für z bewirkt.