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Abschnitt XXVII.

bestellt. Die Bedingung, daß z keinen höheren als den r ,e “ Differen-tialquotienten der willkürlichen Funktion cp enthält, ist dann, wiesofort ersichtlich,

0 = ZV> - (^-) - »«,«;

ist sie für kein endliches r erfüllt, so ist die Gleichung — vorausgesetzt, daßdie Laplaceschen Behauptungen über die notwendige Form des In-tegrals richtig sind — auch nicht in endlicher Form integrierbar,dieser Fall tritt z. B. im allgemeinen ein, wenn l, m, n konstant sind 1 !.Ganz die gleiche Methode würde am Platze sein, wenn man von vornherein nicht t/.>, sondern cp gleich Null gesetzt hätte; Laplace gehtdeshalb gar nicht auf diese Frage ein, sondern wendet sich zur Be-trachtung des Falles, daß T nicht identisch Null ist, welcher eineanaloge Behandlung gestattet.

Indem Laplace des weiteren die angegebene Bedingungsgleichungfür Integration in geschlossener Form als Bestimmungsgleichung für rauffaßt, erhält er in endlicher Form integrable Fälle. 2 ) Auch ist nochgezeigt, daß der Ausdruck für z, sobald er eine nur endliche Anzahlvon Integralzeichen enthält, immer auch durch willkürliche Funktionenund deren Differentialquotienten allein dargestellt werden kann, oder,wie Laplace sich ausdrückt, notwendig von Integralzeichen frei ist 3 ,);endlich ist noch auf die Integration unter gegebenen Anfangs-bedingungen eingegangen. 4 ) Daß mit der Integration einer einzigender Differentialgleichungen 2. Ordnung, die sich der Reihe nach er-geben, die aller übrigen durch Quadraturen oder Differentiationeugefunden wird, erwähnt Laplace, offenbar weil selbstverständlich,nicht.

Später 0 ) kommt Laplace auf seine Ergebnisse zurück und stelltsie in folgender Form dar: Jede lineare partielle Differentialgleichung2. Ordnung, sagt er, kann in der Form dargestellt werden

'MS + »&)+«&) + <*.

wo m, n und 1 gegebene Funktionen der Variabein s und s 1 sind.Versteht man unter (f j(s) das Integral fds-cp(s), unter qp 2 (s) dasIntegral fcscp^s) usf., desgleichen unter das Integral fds I ip(s I ),

unter y’ 2 (V) das Integral f fs , i/ , /(s / ) usf., so ist

') Histoire de l’Academie des Sciences 1773 (1777), p. 369. *) Ebenda,

p. 380. 3 ) Ebenda, p. 382 ff., speziell p. 395. Auf die im Text angeführte

Behauptung kommt Cousin ebenda 1784 (1787), p. 420 zurück und stellt einenentsprechenden Satz allgemein für Gleichungen n“’ r Ordnung auf: ebenda, p. 429.*) Ebenda 1773 (1777), p. 396. 5 ) Ebenda 1779 (1782), p. 268ff.