lOOn

Totale und partielle Differentialgleichungen.

U = A - ■ <p 2 (s) + -1 (3) • tf 3 (s) + • • •

+ B . ti(s‘)+ m ■ t 2 (s>) + B& ■ * a ( ; S') + ■■■-,

cp(s) und ijj(s r ) sind hierbei zwei willkürliche Funktionen; für ihreKoeffizienten gelten folgende Gleichungen:

0 =

(lf r ) + m A ;

0 =

(cAV)\\ ds‘ '

+

m AID -(-

DA?)

0 =

(dAW\\8si )

_L

i

»!# +

I)#);

o =

idBi ,

( „ + n

' fjS ’

0 =

O

+

riBn +

I)B-.

0 =

/dB'*))

V 8 s ’

+

nJt* +

DBA-

Ergibt sich einer der Koeffizienten AM oder B"'>, wo j i einepositive ganze Zahl ist, zu Null, so bricht die Reihe für u ab. Imfolgenden gelangt Laplace zur Darstellung von u in Form von be-stimmten Integralen. Er bezeichnet nämlich die Summe

g

<p(0) + ttp(cs) + t 2 (p(2(.s) + ■ ■ ■ + t ds ■ (p(s)

T • ds

mit T und entwickelt nach Potenzen von t . Dann wird der

l c

I

Koeffizient von t Ss gleich

[<p(U) + cp(es) -r q>(2ds) + • • • + <p(s)] • csgefunden; das ist aber nichts anderes als cp /(s). Allgemein ist der

g

Koeffizient von t ds in der Entwicklung von T (1 — t)~ “t s“ nichtsanderes als qp (s). Mit Hilfe dieser Beziehung läßt sich, wenn manfür T seinen Wert in cp (0), <p (' s), ... einsetzt, cp u (s) linear durch

l ) Wir haben uns hier der Übersichtlichkeit halber der modernen Bezeich-nuugsweise bedient, die statt der vorgelegten Differentialgleichung in u sym-bolisch Du = 0 schreibt.