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Abschnitt XXVII.

die <p(0), <p(rs), ■ . . und gewisse Koeffizienten ausdriicken, die be-stimmt werden sollen. Der Koeffizient von cp-(res ) in dem AusdruckT(1 — i)~“cs f ‘ ist U(1 — t)~‘‘cs": auf cp u (s) trifft dabei nur der

g

Koeffizient von t°’. Drückt man also qp (s) in angedeuteter Weisedurch qp(0), qp (cs), . . . cp (n s\ . . . aus, so wird der Koeffizient von

c f(r/s) gleich dem Koeffizienten von t os in der Entwicklung von

t'\ 1 — t)-^cs% d. i. gleich dem von t d " in der Entwicklung von

(l — D _ "pS“ sein. Dieser ist aber gleich

1 • 2 tu — 1) ' S " ’

läßt man r so ins Unendliche wachsen, daß dabei res gegen einenendlichen Wert z konvergiert, so geht er über in

(*-*)"■

-8 s. Mit

0* - Di

Hilfe dieser Darstellung läßt sich jetzt auch das Integral w stattdurch <p fi durch *die qp(0), (f (cs), . . . cp{res), . . . ausdriicken. Hier-bei wird der Koeffizient von

gleich

wenn man

cp(r< s) = cp(z)

X

u =1

.41" - b

V

.40' -1)

X

(ft — 1)!

= r(x)

setzt. Hieraus schließt Laplace auf die Gleichung

n = f czT(s — z)cp(z) + j ?,zll(s ! — z)t(z),o o

wo die Funktion 77 analog der Funktion I] aber mit Hilfe der />'gebildet ist. Hierbei sind aber, wie aus den Gleichungen für die Aund B hervorgeht, r(s — z) und 77(s 7 — z) selbst partikuläre Inte-grale der gegebenen Differentialgleichung, von denen das erstere fürs = z der Anfangsbedingung

d u . .

ds‘ + mu = °>

das letztere für s 7 = z der Anfangsbedingung