Totale und partielle Differentialgleichungen. 1007

genügt. Durch dieses Ergebnis wird Laplace veranlaßt, den Aus-druck

u = fotz ■ <f(z) + Jj) I cz ■ 4<(z),

genommen von einem konstanten Wert von z bis z — s bzw. z = s l ,zu untersuchen; er tindet durch Differentiation, daß dieser Ausdruckder Differentialgleichung genügt, sobald p und p 1 partikuläre Wertevon u sind, die eine willkürliche Konstante z einschließen und fürz ^ s bzw. s l in Funktionen V und P 1 von der Art übergehen, daß

,) = (Ü)+ wP und üs -® + MiJ/ -

Da der Ausdruck für u zwei willkürliche Funktionen cpiz) und i l>(z)enthält, erklärt ihn Laplace für das allgemeine Integral. Endlichsind noch verschiedene andere Darstellungen des bestimmten Integralsangegeben; so erhält man vermöge der Substitutionen z = st bzw.z = s l t die folgende zusammengezogene Form

o o o

u — fct ■ {sg • (f>(st) 4- s 1 «/ ■ s ! t )},

wo zwischen den Grenzen 0 und 1 integriert wird, und q und q 1 ausp und p 1 hervorgehen. Besonders behandelt wird der Fall, daß l, m, nkonstant sind; hier ist F(s — z) gleich dem Produkt ausund einer Funktion der einen Variabein

0 = s, (s - z),

die der gewöhnlichen Differentialc;leichun<r

O n n

0 = (/ - mn) ■ ,J + (?J) + 0 ■und den Anfan gsbedingunsjen

V = l > (|f) = + mn - 1

für 0 = 0 genügt; diese Funktion war übrigens schon Bernoulliund Euler begegnet. Für

I - mn = u

reduziert sich das Integral auf

u = er{cp,(s) + tpj (V)}. 1 )

Der schon in der ersten Abhandlung besprochene Fall

l ) Größtenteils nach Burkhardt a. a. 0., Heft ‘2, S. 39»tf.