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Abschnitt XXVII.

»1 = —i—,, M = , ,, t = , , —,

wo /’, y, h Konstante sind, wird nochmals vorgenommen; die bereitsvon Lagrange behandelte Gleichung

/ddu\ 2 (88u\ ma 3 /d«\ ma 3 u

\ dt 3 / \8x 3 J x 'dx/ x 3

durch die Substitutionen

x + eD = s und x — at = s 1

auf eine Gleichung der eben erwähnten Art, nämlich

0 _ | ddu \ _ m nd u\ (du \“| mu

~ 'dsds'/ ^ 2ÜT+sij L\2s7 W/J ~ (s + «>')* ’

reduziert.

Später 1 ) überträgt dann Legend re die Laplacesche Kaskaden-methode auf die lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung inihrer ursprünglichen Form, d. h. er zeigt, daß die Transformation aufdie Euler-Laplacesche Norraalform überflüssig ist. Legendre führt hierbei die Integrale der Gleichungen

dy — pdx — 0 und dy — Pdx = 0

ein, wo p und P die Wurzeln der Gleichung

p 2 — np + h — 0

sind, und a und b die Koeffizienten von bzw. in der cre-

dxdy dy 3 °

gebenen Differentialgleichung — der Koeffizient von ist gleich 1

gesetzt — bedeuten; auf die Darstellung seiner Methode kann, da sieprinzipiell von der Laplaceschen nicht verschieden ist, hier ver-zichtet werden.

Das Ziel der Laplaceschen Arbeit war die Aufsuchung einesKriteriums für die Möglichkeit einer Integration in geschlossenerForm; der hierbei eingeschlagene Weg führte nebenbei noch auf dieLösung der Gleichung 2. Ordnung durch bestimmte Integrale. Vonanderen Gesichtspunkten gehen die Untersuchungen aus, denen wiruns jetzt zuwenden. Lagrange, der Schöpfer der Theorie der par-tiellen Gleichung 1. Ordnung, derselbe, der durch seine Arbeiten überNatur und Fortpflanzung de3 Schalls das Interesse an der Gleichung2. Ordnung so mächtig gefördert hat, ist später nur mehr gelegentlich

*) Histoire de l’Aeademie des Sciences 1787 (1789), p. 319.