Totale und partielle Differentialgleichungen.
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auf diese zurückgekommen; erwähnt sei von ihm die Behauptung 1 ),daß man bei Kenntnis zweier verschiedenen vollständigen ersten Inte-grale allgemein das vollständige endliche Integral finden könne, indem
man zuerst , sodann l \ Z aus jenen eliminiere und die durch par-
tielle Integration nach x bzw. // gebildeten Integralgleichungen mit-einander vergleiche.
Weiterhin ist Monge zu nennen, der abweichend von Laplaceunter einer linearen Gleichung 2. Ordnung jede Gleichung
Ar + Bs + Ct + I) = 0
versteht, wo r, s, t in üblicher Weise die partiellen Ableitungen2. Ordnung bedeuten und A, B, C, I) beliebige Funktionen von x, y,z, p und q sind, der also nur verlangt, daß r, s und t linear auf-treten. 2 ) Das Verfahren ist genau dasselbe wie sonst: Reduktion auftotale Gleichungen. Die Relationen
dp = rdx + sdy und dq = adx + tdy,
„die nichts Neues sagen“, gestatten zwei von den drei Größen r, s, tzu eliminieren, und man erhält:
Bdpdy -f Cdqdy — Cdpdx -fi Bdy 2 = — r{ Ady- — Bdxdy + Cd:A }
Adpdy + Cdqdx + I)dxdy = .s'{M(/// 2 Bdxdy + Cdx*)
Adpdx — Adqdy-\~ Bdqdx + Ddx 2 = — t { A dy' 2 — Bdxdy + Cdx 2 ).
Damit diese Gleichungen nicht r, .«, f in x, y, z, p, q bestimmenkönnen, muß gleichzeitig
Ady 2 — Bdxdy -f Cdx 2 = 0Adpdy + Cdqdx + Bdxdy = 0Bdpdy + Cidqdy — dpdx) + l)dy 2 = 0A(dpdx — dqdy ) + Bdqdx + Bdx 2 = 0.
Von diesen vier Gleichungen sind zwei die Folge der beidenübrigen; sie erfahren, wie Monge in seiner Application zeigt, mitHilfe der Charakteristikentheorie eine einfache geometrische Deutung.Dieselbe Deutung des Wortes simultan, die schon früher den Zu-
sammenhang zwischen totalen und partiellen Gleichungen vermitteln
') Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 95. Der Aufsatz stammt aus demJahre 1774. *) Histoire de l’Academie des Sciences 1784 (1787), p. 12Gff.
Vgl. auch Memoires de l’Academie de Turin 1784 85 (1786), p. 31 ff.; fernerHistoire de l’Academie des Sciences 1783 (1786), p. 720, woselbst die speziellereGleichung Lr - 1- J/s-f-IVt = 0 auf totale Gleichungen reduziert, auch die Glei-chung der Minimalflächen behandelt wird.