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Abschnitt XXVII.

mußte, führt auch jetzt zu dem Schluß, daß V = <p(U) ein erstes Inte-gral (integrale premiere) der vorgelegten Gleichung ist, wenn V = aund U = b die vollständigen Integrale zweier von den angegebenenvier totalen Gleichungen oder zweier gleichwertigen sind. Sind zweiderartige Gleichungen zwar integrabel, läßt sich aber keine von ihnenauf den ersten Grad reduzieren, so ist besondere Vorsicht nötig, inwelcher Weise die betr. Integrale zu kombinieren sind, da nicht alleKombinationen brauchbare Resultate geben; Monge gibt diesbezüg-liche Vorschriften. 1 ) Von Beispielen ist die Gleichung mit konstantenKoeffizienten behandelt, außerdem die Differentialgleichung der Mini-malfiächen, letztere in wenig brauchbarer Form und fehlerhaft. Mongeschreibt diese Gleichung Borda zu, wohl weil dieser eine kurze Ab-handlung über diesen Gegenstand gebracht hatte 2 ); Borda selbst ver-weist dort auf einen noch zu besprechenden Aufsatz in den MiscellaneaTaurinensia, in dem Lagrange seine Variationsrechnung bekanntmacht. Legendre zeigt 3 ) von der Mongeschen Integration, daß diedarin auftretenden Integralzeichen sich über mehrere Variable er-strecken, ohne daß die Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind, undfindet die richtige Lösung durch einfache Änderung der Variabein;als Beispiele bringt er den Rotationskörper, dessen Meridiankurve dieKettenlinie ist, sowie die MinimalHäche zwischen zwei windschiefenGeraden. 4 )

In der erwähnten Abhandlung behandelt Monge auch Gleichungen,für welche sich nicht ein erstes Integral der Form V = <p(U), sondernkomplizierteren Baues ergibt ; aber leidei fragt er nicht nach den Be-dingungen, unter welchen ein erstes Integral der Form V = (f (U)existiert; er wäre sonst notwendig auf die allgemeinere sogenannteAmperesche Form der Differentialgleichung 2. Ordnung geführt wor-den, die noch ein additives Glied — s 2 ) besitzt, aber trotzdem

prinzipiell nicht schwieriger zu integrieren ist als die von ihm betrachtete lineare Gleichung. Übrigens war Monge die Einsicht indie Wichtigkeit der Verbindung rt — s 2 nicht verschlossen; dieserAusdruck, der schon 17l)0 in den Eulerschen Untersuchungen überFlächenkrümmung auftritt, findet sich in verschiedenen von Mongeuntersuchten Differentialgleichungen, wie

rt — s 2 + A = 0 und (rt — s 2 ) 2 + 4rs' = 0,

wieder. 5 )

*) Histoire de l’Academie des Sciences 1783 (1786), p. 143. *) Ebenda,

1767 (1770), p. 561if. Iiorda bezeichnet die Aufgabe als Problem von La-grange. 5 ) Ebenda 1787 (178‘J), p. 309tf. 4 ) Vgl. diesen Band S. 560 obenund S. 569. 4 ) Histoire de l’Academie des Sciences 1784 (1787), p. 89, 157,

endlich p. 561, 562.