Totale und partielle Differentialgleichungen.
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Monge behandelt 1 ) auch nichtlineare Gleichungen 2. Ordnung,indem er sie auf lineare Gleichungen höherer Ordnung zurückführt.Sei W = 0 eine beliebig aus x, y, z, p, q, r, s, t zusammengesetzteDifferentialgleichung. Durch Differentiation erhalte man hieraus mitBenutzung der Relationen
dz = pdx + qdy dp = rdx + sdy, dq = sdx + tdydie Gleichung
Adr + Bds + Cdt 4- J)dx + Edy = 0.
Wenn jetzt, sagt Monge, auf Grund einer gewissen Annahme überden Wert von ^ die partielle Gleichung 3. Ordnung, die man erhält,
eine Konstante weniger besitzt und linear oder doch von brauchbarerGestalt ist, und es ist möglich, zwischen den drei ersten Integralendieser Gleichung (und der ursprünglichen) die fünf Größen p, q, r,s, t auf einmal zu eliminieren, so hat man in dem Resultat dieserElimination das gesuchte endliche Integral vor sich. Monge nimmtspezieU
Ddx + Edy = 0
an, berechnet daraus ^ und setzt diesen Wert in’ ax
Adr + Bds(PZ
('dt = 0
d s z
ein, wo man sich dr durch “ ~ i dx + dy usw. ersetzt denken
(t X (l X (l
muß; dadurch entsteht die lineare Gleichung 3. Ordnung
AE
iPzdx 3
(BE-AI))
d s z
dx-d u
CE - IW)
dxdy“
CD
d 3 zdy 5
= 0.
die nach der gewöhnlichen Methode auf totale Gleichungen reduziertwird. Aus diesen folgert Monge mit Ausschaltung der Gleichung
Ddx + Edy = ü,
die wieder auf die ursprüngliche Gleichung führt, folgende zwei Glei-chungen, welche die beiden anderen Integrale der Gleichung 3. Ord-nung liefern:
Ady 2 — Bdxdy + ('dx- = 0
und
A Edydr + ds(CEdx - AI)dg) - CDdxdt = 0.
Monge gibt als Beispiel die Gleichung