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Abschnitt XXVII.

2bx(a 2 r + 2ns + t) -f r<y(«*r + 2as + t) — 2ab(ap -(- q) = 0,welche auf

a 2 dr + 2ads + dt = 0; tlr — ndy = 0und damit auf das Integral

z = w(x — ny) + x(f(x — ay) + 2b 2 x 2 [(p(x — ay)f

führt. Es ist leicht, fügt er hinzu, ähnliche Überlegungen für dieGleichungen höherer Ordnung anzustellen, aber man sieht auch, daßmit wachsender Ordnung die Fälle, wo das geschilderte Verfahreneine „vollständige“ Integration erlaubt, immer seltener werden.

Nach Monge ist Legendres Behandlung der speziellen Gleichung

, ddz ddz „ddz .

A dx* 1 Ji dxdy + ° dy* ^

deren Koeffizienten .1, B, C Funktionen von

dz

dx

, dzp und -3—dy

allein sind, zu erwähnen.0 Auf einen sehr speziellen Fall dieserGleichung war schon Monge gestoßen, der erkannt hatte*), daß dieGleichung

äSz . ddzz j * -f- A. z -j — 5 —dx m dxdy

ii z ddz _ _ A dzdz _ B =

dy* dx* dxdy dy*

durch die Substitution z = e'" in

d 6 oidx*

+ 1 -^“-dxdy

+ B

dda>dy*

0

übergeht; Monge findet

z=\(f{J > x — y)]x\t’(P'x - //)],wo V und P' die Wurzeln von

P 2 - AP + 71=0sind, und im Fall gleicher Wurzeln

= [<p[Px — //)] ' X j V ( Px — f/) |.

Legendre behandelt nun die allgemeine Gleichung folgendermaßen:

’) Histoire de l’Aeademie des Sciences 1787 (1789), p. 314. *) Memoires

presentes par divers Savans, t. VII, 1773 (1776"), p. 323.