Totale und partielle Differentialgleichungen.

101 3

statt z, p, q als Funktionen von x und // aufzufassen, sieht er viel-mehr umgekehrt x, y, z als Funktionen von p und q an; daun istxdp -f- ydq ein exaktes Differential da und folglich

d(o dco

x== d P ' =

Man sieht leicht, daß diese Gleichungen eine Berührungstransformationdarstellen, die sich nach den Vorschriften von Monge oder Lie aus

— z — z i -f- xx l + yy 1 = 0

ergibt, wo der Übersicht halber z lf x lr y l statt <o, p, q geschriebensind; Legendre erkennt aber den Zusammenhang seiner Methodemit der Mongeschen Theorie der Berührungstransformationen nicht.Führt man nun a als neue abhängige Veränderliche ein, so müssenauch die Ableitungen von z nach x bzw. y durch die Differential-quotienten von a nach p und q ersetzt werden. Legendre erhältauf diese Weise bei stillschweigender Unterdrückung eines Nennersddui ddto /dda>\-dp s ' dg* _ ’

dpddj) ( ^ e neue Gleichung

d d o.dg-

ddco ,, d d o> ...dpdg + ' dp* =

von der die Gleichung der Minimalflächen ein spezieller Fall ist.

Legendre behandelt 1 ) auch einen speziellen Typus von Glei-chungen höheren Grades, nämlich

r = F(s, t),

wo r, s und 1 die übliche Bedeutung haben. Sein Gedankengangist ähnlich wie bei der eben behandelten linearen Gleichuno-; er fol-gert aus

dp = rdx + sdy und dq = sdx + tdy,

daß xdr + yds und xds + ydt exakte Differentiale sind, betrachtetx und y als Funktionen von s und t und setzt

dann ist

xds + ydt = da-,

x =

d <ods ’

dca

<> = d t ■

Durch Differentiation der gegebenen Differentialgleichung folgt abereine Gleichung

dr = Ads -f- Iidt,

*) Histoire de l’Academie des Sciences 1787 q789), p. 317.

65 *