Totale und partielle Differentialgleichungen.

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Gz + a (f) + n( dz ) + c( ddz ) + i )( dd ;) - ]■: (??-*-)

' 3x) '•du' \dx*' oy- ' \dx3y'

Ersetzt mau in dieser Gleichung die einzelnen Differeutialquo-tienten durch ihre aus der gegebenen Integralgleichung berechnetenWerte, so treten die willkürlichen Funktionen F und f nebst ihrenDerivierten in verschiedenen Verbindungen auf. Die Koeffizientendieser Kombinationen setzt Trembley, da die Gleichung keine will-kürlichen Funktionen mehr enthalten soll, gleich Null und erhält so6 Gleichungen für die 0 und II, wie z. B.

'Cr+"Q + /.;

Aus diesen Gleichungen lassen sich zunächst die Verhältnisse derGrößen (x, A, B, . . . durch die <t> und II ausdrücken; haben alsoumgekehrt jene Verhältnisse diese Form, so ist die Gleichung sicherdurch

z = W ■ F(O') + //"•/•(<!>")

integriert. Sind die G, A, B, . . . gegebene Funktionen, so bestehtdie Aufgabe darin, die II und 0 zu bestimmen. Trembley löst die

Aufgabe für spezielle F'älle. Zuerst nimmt er II' = II" an 1 ) und be-

rechnet aus den erwähnten 6 Gleichungen die Ableitungen von IIund 0 durch die G, -1, B, . . . dargestellt. Für 0' und 0" ergebensich, wie schon aus der einen angeführten Relation ersichtlich, dieGleichungen

E-V(Kh

4 CD) jd'L>'

und

E + V(EE—iC Df id<P"

2 D 'J'a.r

und das sind, wie es der Xatur der Aufgabe nach nicht anders seinkann, genau die Gleichungen, welche Laplace zur Transformationder Gleichung 2. Ordnung auf die kanonische Form benutzte. Trembleyersetzt beide Gleichungen durch die totale

I F V ] l FE - 4 CD)\f.y — 2Dr x = 0,

wobei also K, C und I) als gegeben zu betrachten sind: des weiterenstellt er Formeln auf, welche nach Berechnung von 0' und 0" dieFunktionen II' und 11” durch die Koeffizienten G, A, B, . . . der gegebenen Differentialgleichung ausdrücken. Analog wird der Kall

0 ' = 0 "

*) Nova Acta Academiae l’etropolitanae. t. XI. 1792 (1797 , Histoire p. 35.