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Abschnitt XXVII.
untersucht. 1 ) Noch mehr Gelegenheit zu rechnen gibt die Annahme*)einer komplizierteren Integralgleichung
H
* -^ 7 /<—■>• [F®( <£') + f®(<P")\,
< = 0
wobei die F® und f® die Deriyierten von F bzw. f bedeuten, unddie nach einem gewissen Gesetz auseinander liervorgehen. Weiter-hin geht Tremblev von der Integralgleichung
i<{x, y, z) = ll(x, y) ■ F( <I>(x, .</))
aus 5 ), die ihn zunächst auf eine komplizierte partielle Gleichung mit denabhängigen Yariabeln ip und z und drei Bedingungsgleichungen führt.Diese komplizierte Form vergleicht er sodann mit der allgemeinenpartiellen Gleichung 2. Ordnung, welche die ersten Ableitungen von zin der 2. Potenz enthält, und stellt ip durch die Koeffizienten derletzteren dar. Ist nun eine derartige Gleichung 2. Ordnung gegeben,so existiert, wenn ip außerdem die erwähnten Bedingungsgleichungenerfüllt, ein Integral der angegebenen Form. Ein Anhang * 4 ) bringteine Abänderung der besprochenen allgemeinen Methode. Endlich istzu erwähnen, daß Trembley eine Unmenge von Beispielen, besondersaus Eulers Integralrechnung, nach seiner Methode rechnet, die nurden Nachteil hat, daß man bei einer beliebig vorgelegten Differential-gleichung von vornherein ersehen sollte, welche Form das Integralhaben wird.
Von den Gleichungen höherer Ordnung gesteht Euler inseiner Integralrechnung 5 ! zu, daß die Einführung neuer Veränderlicherhier wegen der allzuverwickelten Formeln wenig zweckmäßig ist.Euler beschränkt sich auf drei Typen von Gleichungen, deren ersterdadurch entsteht, daß man eine einzige Derivierte höherer Ordnunggleich Null oder einer Funktion von x und y gleichsetzt. 6 ) Für dieGleichung
O
das auf die Bedingung « s = a 6 führt und so drei partikuläre Integraleder Form
*) Nova Acta Academiae Petropolitanae, t. XI, 1792 '1797), Hiatoire, p. 42 tf.
Ebenda, p. 83 ff. *) Ebenda, p. 101 ff. 4 > Ebenda, p. 105—109.
5 ) Institutiones calculi integralis, vol. III, p. 348. *) Ebenda, p. 351 bzw. 355.