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Totale und partielle Differentialgleichungen.

z = c nz r(y)

mit der willkürlichen Funktion r liefert; eine ähnliche Methode hatEuler auch zur Integration der Gleichung der Saitenschwingungenbenutzt (’S. 9961. Als zweiter Fall ist die Gleichung behandelt, welchedie Ableitungen nach einer der beiden Variabein x und y gar nichtenthält. Man kann deswegen z. B. in der Gleichung

wo P, Q, B, . . . Funktionen von x und y sind, y als konstant an-sehen und integrieren; man hat lediglich für die Integrationskonstantennachträglich arbiträre Funktionen von y einzuführen. Euler be-trachtet verschiedene integrable Gleichungen 3. Ordnung; hierauf dieGleichung der Schwingungen elastischer Lamellen

id*z\ (ddz\

von der er als partikuläres Integral die Gleichung

("') + * Ö

mit der Bedingung b = + a angibt. 1 ) Der dritte Typus, von Euler als homogener bezeichnet, ist dadurch charakterisiert, daß die Diffe-rentialgleichung nur Derivierte derselben Ordnung und kein Absolut-glied besitzt. Für die Lösung der Gleichung

A

+ ■ ■ ■ = 0 ,

wo A, B, C, . . . Konstante sind, gibt Euler die Regel an: man bildedie algebraische Gleichung A ,en Grades

An 1 + Bn '~ 1 + Cn'~ 2 + • • • = 0

und bestimme ihre Wurzeln «, ß, y, . . .; dann ist das „vollständigeIntegral“ der vorgelegten Gleichung

z = r(y + ax) + A(y + ßx) + 2(y + yx) H-,

wo r, z/, 2,’, . . . willkürliche Funktionen sind. Im Fall gleicher

*) Institutiones calculi integralis, vol. III, p. 374. Die Schwinguugenelastischer Lamellen und Ruten unter verschiedenen Grenzbedingungen hatEuler ausführlich Acta Academiae Petropolitanae 1779 1782;, pars I, p. 103ff.behandelt. Daran knüpft endlich ein Aufsatz von Lexell an: ebenda, 1781(1785), pars II, p. 185 ff.