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Abschnitt XXVII.

Wurzeln treten Faktoren x, x 2 , . . . oder, was die Form des Integralsnur scheinbar ändert, ?/, y 2 , . . . auf; ein Resultat, das Euler dadurcherhält, daß er die gleichen Wurzeln als unendlich wenig verschiedenannimmt und nach geeigneter Umformung zur Grenze übergeht. Istvon den ersten Koeffizienten A, B, (’, . . . eine Anzahl Null, so sindebensoviele Wurzeln n unendlich groß 1 ),] und der entsprechende Teildes Integrals lautet r(x ) + y zJ (x) + y 2 Z(x) + • • •.

Dieser Gleichungstypus begegnet uns bereits bei Laplace 2 ), derindessen auf der rechten Seite statt der Zahl 0 eine gegebene Funk-tion X von x annimmt. Laplace behandelt die Gleichung mit Hilfeeiner Methode, die derjenigen für die lineare totale Gleichung w ler Ord-nung vollkommen analog ist (vgl. S. 931); nach seiner Behauptunghat sie schon d'Alembert im 4. Band seiner Opuscules integriert.Mau vergleiche hierzu auch die von Legendre behandelte Gleichung2. Ordnung (vgl. S. 1012).

Euler hat noch verschiedene spezielle Gleichungen höherer Ord-nung integriert; als Integral von

‘ O + M '

gibt er 3 ) an

und knüpft daran die Bemerkung, daß man a posteriori, d. h. vomIntegral ausgehend, noch weitere derartige Beispiele finden könne.Das Problem der Schwingungen von Glocken behandelt Euler durchZerlegung der Glocke in Kreisringe und Betrachtung von deren Bewegung. Als Gleichung für die letztere erhält er

1 ,ddy

<£?> + 0 ‘>

f'fcc 'dt

mit der partikulären Lösung

y = A sin ('* + «) sin [ lt a C J Y(ii - 1) + l’),

wo i jede ganze Zahl bedeuten, jeder Sinus durch einen Cosinus er-setzt werden kann, und A, n, v willkürliche Größen sind. Aus denPartikulärlösungen für die Kreisringe sucht er dann die Schwingungender ganzen Glocke zu konstruieren.

') Institutiones ealculi inte^ralis, vol. III, p. 387. *) Miscellanea Tauri-

nensia, t. II s , 1766/69, p. 339. 5 ) Institutiones calculi integralis, vol. III,

p. 377. 4 ) Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. X, 1764 (1766),

p. 269. Vgl. Burkhardt, a. a. <)., Heft 2, S. 364.